《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

21. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕.某校七、八年级各有500名学生,为了解这两个年级学生对本届冬奥会的关注程度,现从这两个年级各随机抽取$n$名学生进行冬奥会知识测试,将测试成绩按以下六组进行整理(得分用$x$表示):
$A:70\leq x\lt75$;$B:75\leq x\lt80$;$C:80\leq x\lt85$;$D:85\leq x\lt90$;$E:90\leq x\lt95$;$F:95\leq x\leq100$.
并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图,部分信息如下:
七年级测试成绩频数直方图
八年级测试成绩扇形统计图

已知八年级测试成绩中$D$组的全部数据如下:
$86$,$85$,$87$,$86$,$85$,$89$,$88$.
请根据以上信息,解决下列问题.
(1) $n=$20$$,$a=$4$$.
(2) 八年级测试成绩的中位数是86.5.
(3) 若测试成绩不低于90分,则认定该学生对冬奥会关注程度高.请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人,并说明理由.

答案： 解：
(1)20，4.(4分)
(2)八年级A组人数为$20×5\% = 1$，B组人数为$20×5\% = 1$，C组人数为$20×20\% = 4$.
$\because1 + 1 + 4 = 6$(人)，$1 + 1 + 4 + 7 = 13$(人)，$\therefore$八年级测试成绩的中位数是D组按从小到大的顺序排列后的第4个和第5个数的平均数，即$\frac{86 + 87}{2}=86.5$(分).
故答案为86.5分.(7分)
(3)$500×\frac{3 + 1}{20}+500×(1 - 5\% - 5\% - 20\% - 35\%)=100 + 175 = 275$(人).
答：估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人.(12分)

22. 已知四边形$ABCD$中,$BC=CD$,连接$BD$,过点$C$作$BD$的垂线交$AB$于点$E$,连接$DE$.
(1) 如图1,若$DE// BC$,求证:四边形$BCDE$是菱形.
(2) 如图2,连接$AC$,设$BD$,$AC$相交于点$F$,$DE$垂直平分线$AC$.
(ⅰ) 求$\angle CED$的大小.
(ⅱ) 若$AF=AE$,求证:$BE=CF$.

答案： 解：
(1)证明：$\because DE// BC$，$\therefore\angle BDE=\angle CBD$.
$\because BC = CD$，$\therefore\angle BDC=\angle CBD$，$\therefore\angle BDE=\angle BDC$.
又$\because BD\perp CE$，$\therefore CD = DE$，$\therefore BC = CD = DE$.
$\because BC// DE$，$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形，
又$\because BC = CD$，
$\therefore$四边形$BCDE$是菱形.(4分)
(2)(ⅰ)$\because DE$垂直平分$AC$，$\therefore AE = EC$且$DE\perp AC$，$\therefore\angle AED=\angle CED$.
又$\because CD = CB$且$CE\perp BD$，$\therefore CE$垂直平分$DB$，$\therefore DE = BE$，
$\therefore\angle DEC=\angle BEC$，$\therefore\angle AED=\angle CED=\angle BEC$.
又$\because\angle AED+\angle CED+\angle BEC = 180°$，
$\therefore\angle CED=\frac{1}{3}×180° = 60°$.(8分)
(ⅱ)证明：由(ⅰ)得$AE = EC$，
又$\because\angle AEC=\angle AED+\angle DEC = 120°$，
$\therefore\angle ACE = 30°$.
同理可得，在等腰$\triangle DEB$中，$\angle EBD = 30°$，
$\therefore\angle ACE=\angle ABF = 30°$，
在$\triangle ACE$与$\triangle ABF$中，$\begin{cases}\angle ACE=\angle ABF\\\angle CAE=\angle BAF\\AE = AF\end{cases}$，
$\therefore\triangle ABF\cong\triangle ACE$(AAS)，$\therefore AC = AB$.
又$\because AE = AF$，$\therefore AB - AE = AC - AF$，
即$BE = CF$.(12分)