《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

13. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过$\triangle ABC$的顶点$A$，$AB// x$轴，点$C$在$x$轴上，若点$B$的坐标为$(-1,6)$，$S_{\triangle ABC}=12$，则实数$k$的值为-30。

答案： 【解析】设点$A(a,6)$，$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × (-1 - a) × 6 = 12$，解得$a = -5$，$\therefore A(-5,6)$，$\therefore k = (-5) × 6 = -30$.
解题突破：解决反比例函数问题的思路：解决反比例函数的相关问题时，有以下两个解题入手点：
(1)利用$\vert k \vert$的几何意义解决问题；
(2)设出某个位于反比例函数图象上的点的坐标，如$A(m,n)$，利用$k = mn$解题.

14. 在$\triangle ABC$中，$BC=6$，$AB=AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，动点$P$从点$B$出发，沿$BC$运动到点$C$停止，$\angle PAQ=60^{\circ}$，$AP=AQ$，点$Q$与点$C$位于$AP$的同一侧，连接$PQ$。
(1)当$BP=2$时，$PQ=$2。
(2)连接$CQ$，则在点$P$运动的整个过程中，线段$CQ$长的最小值为$\sqrt{3}$。

答案：

(1)2(2分)
(2)$\sqrt{3}$(3分)
【解析】
(1)如图 1，过点 A 作 AD⊥BC，$\because AB = AC$，$\angle BAC = 120°$，$\therefore \angle B = \frac{180° - \angle BAC}{2} = 30°$，$BD = \frac{1}{2}BC = 3$，$\because BP = 2$，$\therefore PD = BD - BP = 1$，$\because \angle PAQ = 60°$，$AP = AQ$，$\therefore \triangle APQ$是等边三角形，$\because AD \perp BC$，$PD = 1$，$\therefore$点 Q 在 BC 上，$\therefore PQ = 2PD = 2$.
(2)如图 2，过点 A 作 AE⊥BC，延长 AE 到点 F，使得$AF = AB$，连接 PF，FQ 并延长交 AC 于 G，$\because AB = AC$，$\angle BAC = 120°$，$\therefore \angle B = \angle C = \frac{180° - \angle BAC}{2} = 30°$，$BE = \frac{1}{2}BC = 3$，$\angle BAE = \angle CAE = \frac{\angle BAC}{2} = 60°$，$\therefore \angle EAP + \angle BAP = 60°$，$\because \angle PAQ = 60°$，$\therefore \angle EAP + \angle QAE = 60°$，$\therefore \angle BAP = \angle QAE$，同理可得$\angle PAE = \angle QAC$，在$\triangle ABP$和$\triangle AFQ$中，$\begin{cases} AB = AF \\ \angle BAP = \angle QAE \\ AP = AQ \end{cases}$，$\therefore \triangle ABP \cong \triangle AFQ(SAS)$，$\therefore \angle AFQ = \angle B = 30°$，$\therefore AB = \frac{BE}{\cos B} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$，$\therefore AC = AF = AB = 2\sqrt{3}$，$\therefore \triangle APF \cong \triangle AQC(SAS)$，$\therefore FP = CQ$，$\because$F 为定点，$\angle AFQ$为定角，$\therefore$点 Q 在直线 FQ 上，$\because \angle AGF = 180° - \angle FAG - \angle AFG = 90°$，$\therefore CG \perp FQ$，$\therefore$当点 Q 在点 G 处时，CQ 取最小值，在$Rt \triangle AFG$中，$\sin \angle AFG = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{2}$，即$\frac{AG}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$，解得$AG = \sqrt{3}$，$\therefore CG = AC - AG = \sqrt{3}$，$\therefore$CQ 的最小值为$\sqrt{3}$.

15. 先化简，再求值：$\frac{x^{2}+4x+4}{x+2}$，其中$x=2-\sqrt{2}$。

答案： 解：$\frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 2} = \frac{(x + 2)^{2}}{x + 2} = x + 2$，……… (5分)
当$x = 2 - \sqrt{2}$时，原式=$x + 2 = 2 - \sqrt{2} + 2 = 4 - \sqrt{2}$. …………………………………………… (8分)

16. 某进出口公司进口汽车和出口机械设备。已知某月该公司进口的汽车数量比出口的机械设备多8辆。每辆汽车需缴纳进口关税500元，每台机械设备可享受出口退税300元。若该公司实际支付的关税总额比获得的退税总额多7600元，求进口汽车和出口机械设备各多少辆？

答案： 解：设出口的机械设备$x$辆，则进口汽车$(x + 8)$辆，根据题意得$500(x + 8) - 300x = 7600$，解得$x = 18$，$x + 8 = 26$，答：出口的机械设备 18 辆，进口汽车 26 辆. … (8分)

17. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知$A(3,2)$，$B(0,1)$，$C(2,3)$。
（1）将$\triangle ABC$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，请画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
（2）以坐标原点$O$为位似中心，在$x$轴下方，画出$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，使它与$\triangle ABC$的相似比为$2:1$。
（3）在$x$轴上找一点$M$，使得$\angle B_{2}C_{2}M=45^{\circ}$，并直接写出点$M$的坐标。

答案：
解：
(1)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求. ……… (3分)
(2)如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求. ………… (6分)
(3)如图，点 M 的坐标为$(-4,0)$. ………… (8分)