《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

18. 【观察思考】
如图,某公园围栏是由圆形构成的图案,每个圆形的边上都有“★”或“▲”.第1个图案中“★”有4个,“▲”有4个;第2个图案中“★”有8个,“▲”有7个;第3个图案中“★”有12个,“▲”有10个;第4个图案中“★”有16个,“▲”有13个.
【规律发现】
(1)请求出第$n$个图案中“★”有$4n$个,“▲”各有$(3n + 1)$个.(用含$n$的式子表示)
【规律应用】
(2)现有2025个“★”,按此规律制作围栏,要求“★”剩余最少,需要购买多少个“▲”?

答案： 18 解：
(1)由所给图形可知，
第1个图案中“★”的个数为$4 = 4 × 1$，“$\blacktriangle$”的个数为$4 = 3 × 1 + 1$；
第2个图案中“★”的个数为$8 = 4 × 2$，“$\blacktriangle$”的个数为$7 = 3 × 2 + 1$；
第3个图案中“★”的个数为$12 = 4 × 3$，“$\blacktriangle$”的个数为$10 = 3 × 3 + 1$；
$·s$，
$\therefore$第$n$个图案中“★”的个数为$4n$个，“$\blacktriangle$”的个数为$(3n + 1)$个.
故答案为$4n$，$(3n + 1)$.(4分)
(2)由$4n \leq 2025$，得$n \leq 506\frac{1}{4}$，
$\therefore$制作成第506个图案“★”剩余最少，
此时需要购买的“$\blacktriangle$”的个数为$3 × 506 + 1 = 1519$(个)，
故需要购买1519个“$\blacktriangle$”.(8分)

19. 2025年春节,《哪吒》系列电影上映,是传统文化的传承与创新,也加大了文化的输出与交流,更让我国影视业的综合实力迈向一个更高台阶.根据相关协会公布的准则,为了保证观影效果,观众视线与银幕水平线之间的仰角不宜超过$35^{\circ}$.如图,某电影院的观众席成阶梯状,每一级台阶的水平宽度都为1m,垂直高度都为0.3m.已知在点$C$和点$D$两个位置看屏幕顶端$A$的仰角分别$35^{\circ}$和$30^{\circ}$,请根据已有数据,计算大银幕$AB$的高度.
(结果保留整数;参考数据:$\sin 35^{\circ}\approx 0.57$,$\cos 35^{\circ}\approx 0.82$,$\tan 35^{\circ}\approx 0.70$,$\sqrt{3}\approx 1.73$,$\sqrt{2}\approx 1.41$)

答案：
19 解：如图，过点$C$作$CG \perp AB$于点$G$，过点$D$作$DH \perp AB$于点$H$.

设$CG = x$m，则$DH = (x + 1)$m.
$\because \angle ACG = 35°$，$\therefore AG = CG · \tan 35° \approx 0.7x$(m)，
$\because \angle ADH = 30°$，$\therefore AH = DH · \tan \angle ADH = (x + 1) · \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1)$(m).(5分)
由题意得，$AG = AH + 0.3$，即$0.7x = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1) + 0.3$，解得$x \approx 7.1$，
$\therefore AB = 0.7x + 0.6 \approx 0.7 × 7.1 + 0.6 \approx 6$(m).
答：大银幕AB的高度约为6m.(10分)