《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

8. 如图,AB为$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的两点,$\angle CDB=26^{\circ}$,过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点P,则$\angle P$的度数为 (B)


A.$26^{\circ}$
B.$38^{\circ}$
C.$48^{\circ}$
D.$52^{\circ}$

答案：
8 B 【解析】如图，连接OC，
∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥CP，即∠OCP=90°，
∵∠COB=2∠CDB=52°，
∴∠P=90°-∠COB=38°。故选B

9. 新趋势·代数推理 已知实数$a$,$b$满足$2a-b=1$,$-2＜ a+3b＜3$,则下列判断正确的是 (D)

A.$a$的取值范围为$-\dfrac{1}{7}＜ a＜\dfrac{6}{7}$
B.$b$的最大整数值为1
C.$2a^{2}-b^{2}$的最大值为1
D.$a^{2}+b^{2}$的最小值为$\dfrac{1}{5}$

答案： 9 D 【解析】逐项分析如下。故选D。
选项 分析 判断是否正确
A
∵-2＜a+3b＜3,b=2a-1,
∴-2＜a+6a-3＜3,
∴-2＜7a-3＜3,
∴$\frac{1}{7}＜a＜\frac{6}{7}$。 否
B
∵-2＜a+3b＜3,a=$\frac{b+1}{2}$,
∴-2＜$\frac{b+1}{2}+3b＜3$,
∴-4＜7b+1＜6,
∴-5＜7b＜5,
∴$-\frac{5}{7}＜b＜\frac{5}{7}$,
∴b的最大整数值为0。 否
C 2a²-b²=2a²-(2a-1)²=2a²-4a²+4a-1=-2(a-1)²+1,又
∵$\frac{1}{7}＜a＜\frac{6}{7}$,
∴当a=$\frac{6}{7}$时，取得最大值$\frac{47}{49}$,
∴2a²-b²的最大值为$\frac{47}{49}$。 否
D a²+b²=a²+(2a-1)²=5a²-4a+1=5(a-$\frac{2}{5}$)²+$\frac{1}{5}$,又
∵$\frac{1}{7}＜a＜\frac{6}{7}$,
∴当a=$\frac{2}{5}$时，取得最小值$\frac{1}{5}$,
∴a²+b²的最小值为$\frac{1}{5}$。 是
方法技巧
解决代数推理题的常见思路
对于此类代数推理题，通常有如下三种思路。
(1)灵活运用等式、不等式的性质，对式子进行变形。
(2)观察给出的已知条件，判断是否可以结合函数，利用函数图象解决问题。
(3)特殊值法：设出特殊值进行计算，进而判断结论正误。

10. 如图1,在$□ ABCD$中,连接AC,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\tan \angle BAC=\dfrac{1}{2}$.动点M从点A出发,沿AB边匀速运动.运动到点B停止.过点M作$MN \perp AC$交CD边于点N,连接AN,CM.设$AM=x$,$AN+CM=y$,$y$与$x$的函数图象如图2所示,函数图象最低点坐标为 (B)


A.$(2,5)$
B.$(\sqrt{5},2\sqrt{5})$
C.$(2,4)$
D.$(\sqrt{5},5)$

答案： 10 B 【解析】如图，延长DA至A'，使AA'=DA，连接A'M，连接A'C交AB于M'，连接A'B，
∵MN⊥AC，∠ACB=90°，
∴MN//BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD=BC，
∴MN//AD//BC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴MN=AD，AA'//MN，
∴AA'=MN=AD，
∴四边形AA'MN是平行四边形，
∴A'M=AN，
∴AA'//BC，
∴∠A'AC=90°，
∴四边形AA'BC是矩形，
∴AM'=A'M'=CM'=$\frac{1}{2}$AB，当A'，M，C三点共线时，A'M+CM最小，即AN+CM最小，
∴当M运动到M'时，AN+CM最小，由题图2得当x=0时，y=6，此时M与A重合，N与D重合，
∴AD+AC=6，
∴BC+AC=6，
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴AC=2BC，
∴BC+2BC=6，
∴BC=2，AC=4，
∴AB=$\sqrt{AC²+BC²}=\sqrt{4²+2²}=2\sqrt{5}$，
∴AM'=A'M'=CM'=$\sqrt{5}$，
∴当x=$\sqrt{5}$时，y=A'M'+CM'=2$\sqrt{5}$，
∴函数图象最低点的坐标为($\sqrt{5},2\sqrt{5}$)。故选B。

11. 化简:$\sqrt[3]{8}=$2.

答案： 11 2

12. 若关于$x$的一元二次方程$2x^{2}+5x+k=0$有两个相等的实数根,则$k=$$\frac{25}{8}$.

答案： 12 $\frac{25}{8}$

13. 如图,在$Rt \triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,点D,E分别是边AB,AC上的点,连接DE并延长交BC延长线于点F.若$BC=CF=CE=AE=1$,则$DF=$$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

答案：
13 $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ 【解析】如图，过点C作CH//DF，交AB于H，则△BCH∽△BFD，△ADE∽△AHC，
∴$\frac{CH}{DF}=\frac{BC}{BF}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{CH}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，设DE=x，则CH=2x，
∴DF=4x，在Rt△ECF中，CF=CE=1，由勾股定理得EF=$\sqrt{CE²+CF²}=\sqrt{2}$，则4x=x+$\sqrt{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴DF=4x=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。

一题多解
如图，延长CF并截取CG=AC，连接AG。
∵∠ACB=90°，
∴∠ACG=90°。
∵BC=CF=CE=AE=1，
∴AC=CG=2，BF=2，BG=3，
∴AG=$\sqrt{AC²+CG²}=\sqrt{2²+2²}=2\sqrt{2}$。
∵CE=CF，AC=CG，
∴∠BFD=∠CEF=45°，∠BGA=∠CAG=45°，
∴∠BFD=∠BGA。
又
∵∠B=∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴$\frac{BF}{BG}=\frac{DF}{AG}$，即$\frac{2}{3}=\frac{DF}{2\sqrt{2}}$，
∴DF=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。