《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

9. 新方向·数形结合已知二次函数$ y=ax^{2}+bx+c(a\neq0) $的图象如图所示,则 (C)


A.$ abc＜0 $
B.$ 2a+b＜0 $
C.$ 2b-c＜0 $
D.$ a-b+c＜0 $

答案： 9C 【解析】逐项分析如下.故选C.
　　选项　　　　　　　　分析　　　　　　　　判断是否正确
　　A　由图象可知a ＞ 0，b ＜ 0，c ＜ 0，
∴abc ＞ 0. 　　否
　　B　由图象可知抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交点横坐标在-1和0之间，根据对称性可知对称轴$\frac{1}{2}$ ＜ -$\frac{b}{2a}$ ＜ 1，
∴b ＞ -2a，即2a + b ＞ 0. 　　否
　　C　由对称轴的范围可知b ＜ -a，即b + a ＜ 0，
∴4b + 4a ＜ 0①，把点(2,0)代入抛物线中，得4a + 2b + c = 0，
∴4a = -2b - c，再代入①式中，可得4b - 2b - c ＜ 0，即2b - c ＜ 0. 　　是
　　D　由图象可知当x = -1时，y ＞ 0，即a - b + c ＞ 0. 　　否
方法技巧
解有关抛物线与系数a，b，c之间关系问题的一般方法
(1)根据抛物线开口方向判断a的符号：开口向上，则a ＞ 0；开口向下，则a ＜ 0.
(2)由a和对称轴的位置判断b的符号：左同右异.
(3)由抛物线与y轴的交点判断c的符号：交于正半轴，则c ＞ 0；交于负半轴，则c ＜ 0；交于原点，则c = 0.
(4)结合a，b，c判断ab，ac，bc，abc的符号.
(5)由抛物线与x轴交点的个数判断b² - 4ac与0的关系.
(6)特殊式子的判断：看到a + b + c，令x = 1，看纵坐标；看到a - b + c，令x = -1，看纵坐标；看到4a + 2b + c，令x = 2，看纵坐标；看到4a - 2b + c，令x = -2，看纵坐标.
(7)结合对称轴与直线x = 1的位置关系，即-$\frac{b}{2a}$ ＞ 1或-$\frac{b}{2a}$ ＜ 1，判断2a + b的符号；结合对称轴与直线x = -1的位置关系，即-$\frac{b}{2a}$ ＞ -1或-$\frac{b}{2a}$ ＜ -1，判断2a - b的符号.

10. 如图,在四边形$ ABCD $中,$ \angle A=\angle ABC=90^{\circ} $,$ AB=4 $,$ BC=3 $,$ AD=1 $,点$ E $为边$ AB $上的动点.将线段$ DE $绕点$ D $逆时针旋转$ 90^{\circ} $得到线段$ DF $,连接$ FB,FC,EC $,则下列结论错误的是(A)


A.$ EC-ED $的最大值是$ 2\sqrt{5} $
B.$ FB $的最小值是$ \sqrt{10} $
C.$ EC+ED $的最小值是$ 4\sqrt{2} $
D.$ FC $的最大值是$ \sqrt{13} $

答案： 10A 【解析】
∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
∴DE = DF，∠EDF = 90°，
又
∵∠A = ∠ABC = 90°，如图1，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH = AD = 1，
延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形，
∴∠GDA = ∠ADE + ∠EDG = 90° = ∠EDG + ∠HDF，
∴∠ADE = ∠HDF，
∴△DHF≌△DAE(SAS)，
∴∠DHF = ∠DAE = 90°，
∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，
∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，
∴HI = AD = BG = 1，AI = DH = 1，BI = 4 - 1 = 3，
∵∠A = ∠ABC = 90°，AB = 4，BC = 3，AD = 1，
∴ED = $\sqrt{1^2 + (4 - BE)^2}$，EC = $\sqrt{3^2 + BE^2}$，
∴EC - ED = $\sqrt{3^2 + BE^2} - \sqrt{1^2 + (4 - BE)^2}$，
∴BE最大时，EC - ED最大.
如图2，当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时EC = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = 5，ED = 1，EC - ED = 5 - 1 = 4 ≠ 2$\sqrt{5}$，故A错误；BF = $\sqrt{HI^2 + BI^2}$ = $\sqrt{1^2 + 3^2}$ = $\sqrt{10}$，故B正确；如图3，作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED = EM，AD = AM = 1，∠BAM = ∠BAD = 90°，过点M作MN⊥CB于点N，此时EC + ED ≥ CM，当C，E，M三点共线时，EC + ED最小，
∵MN⊥CB，∠ABN = 180° - 90° = 90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴BN = AM = 1，CN = 3 + 1 = 4，AB = MN = 4，
∴EC + ED的最小值 = CM = $\sqrt{4^2 + 4^2}$ = 4$\sqrt{2}$，故C正确；当E与A重合时，CF = $\sqrt{GH^2 + CG^2}$ = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 1)^2}$ = $\sqrt{13}$，如图4，当E与B重合时，过点C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，
∴CQ = IB = 4 - 1 = 3，QI = BC = 3，
∵△DHF≌△DAE，
∴FH = AE = 4，
∴QF = FH + HI - QI = 4 + 1 - 3 = 2，
∴FC = $\sqrt{CQ^2 + FQ^2}$ = $\sqrt{2^2 + 3^2}$ = $\sqrt{13}$，
综上，FC的最大值为$\sqrt{13}$，故D正确.故选A.

11. 计算:$ |-5|-(-1)= $6$ $.

答案： 11-6

12. 如图,$ AB $是$ \odot O $的弦,$ PB $与$ \odot O $相切于点$ B $,圆心$ O $在线段$ PA $上.已知$ \angle P=50^{\circ} $,则$ \angle PAB $的大小为20°.

答案： 12-20

13. 新课标·跨学科试题在一个平衡的天平左、右两端托盘上,分别放置质量为20 g和70 g的物品后,天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为$\frac{1}{3}$.

答案： 13$\frac{1}{3}$ 【解析】由题意可知，20g + 50g = 70g，10g + 40g = 20g + 30g = 50g，把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1，2，3，4，画树状图如下：
　　　　　　　　　　开始
　　　　　　1开始
　　共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种，
∴天平恢复平衡的概率为$\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$.
解题步骤
用列举法求概率的解题通法
用列举(列表或画树状图)法求概率的一般步骤如下：
(1)判断是使用列表法还是画树状图法：列表法一般适用于两步求概率问题，画树状图法适用于两步及两步以上求概率问题；
(2)不重不漏地列举出所有可能出现的结果，并判断每种结果出现的可能性是否相等；
(3)确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；
(4)用公式P(A) = $\frac{m}{n}$求事件A发生的概率.

14. 新考法·新定义试题对于正整数$ n $,根据$ n $除以3的余数,分以下三种情况得到另一个正整数$ m $;若余数为0,则$ m=\frac{n}{3} $;若余数为1,则$ m=2n $;若余数为2,则$ m=n+1 $.这种得到$ m $的过程称为对$ n $进行一次“变换”.对所得的数$ m $再进行一次变换称为对$ n $进行二次变换,依此类推.例如,正整数$ n=4 $,根据4除以3的余数为1,由$ 4×2=8 $知,对4进行一次变换得到的数为8,根据8除以3的余数为2,由$ 8+1=9 $知,对4进行二次变换得到的数为9;根据9除以3的余数为0,由$ 9÷3=3 $知,对4进行三次变换得到的数为3.
(1)对正整数15进行三次变换,得到的数为2.
(2)若对正整数$ n $进行二次变换得到的数为1,则所有满足条件的$ n $的值之和为11.

答案： 14
(1)2
(2)11
【解析】
(1)
∵15÷3 = 5……0，
∴15进行一次变换后得到的数为$\frac{15}{3}$ = 5；
∵5÷3 = 1……2，
∴15进行二次变换后得到的数为5 + 1 = 6；
∵6÷3 = 2……0，
∴15进行三次变换后得到的数为2.
(2)当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3 = 3，此时符合题意；当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为$\frac{1}{2}$，此时不符合题意；当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1 - 1 = 0，此时不符合题意，综上，第一次变换后所得的数为3，当n除以3的余数为0时，则n = 3×3 = 9，符合题意；当n除以3的余数为1时，则n = $\frac{3}{2}$，不符合题意；当n除以3的余数为2时，则n = 3 - 1 = 2，符合题意，
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为2 + 9 = 11.