《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

20. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$.点$O$在$AD$的延长线上,以$O$为圆心,$OE$为半径的$\odot O$经过点$B,C$.
(1)若$AB=2\sqrt{3}$,$BD=\sqrt{3}$,求$\odot O$的半径.
(2)设$\odot O$与$AD$的延长线交于点$F$,$M$是$CF$的中点,$MD$的延长线与$AB$交于点$N$.求证:$BN=BD$.

答案： 20 解：
(1)如图，连接 OB，设⊙O 的半径为 R，
∵在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，
∴AD ⊥ BC.在 Rt△ABD 中，AB = 2$\sqrt{3}$，BD = $\sqrt{3}$，
∴sin∠BAD = $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠BAD = 30°，
∴∠ABC = 90° - ∠BAD = 60°.
∵BE 是∠ABD 的平分线，
∴∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
∴∠ABE = ∠BAD = 30°，
∴AE = BE，∠BEO = ∠ABE + ∠BAD = 60°.
∵点 O 是⊙O 的圆心，OE 为半径，⊙O 经过点 B、C，
∴OB = OE，又
∵∠BEO = 60°，
∴△OBE 是等边三角形，
∴∠OBE = 60°，OB = OE = BE = R，
∴AE = BE = R，
∴OA = OE + AE = 2R，
∵∠ABO = ∠ABE + ∠OBE = 30° + 60° = 90°，
∴△AOB 是直角三角形，在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 OA² = AB² + OB²，
∴(2$\sqrt{3}$)² + R² = (2R)²，解得 R = 2(负值舍去)，
∴⊙O 的半径为 2. ………………………… (5 分)
(2)证明：在 Rt△CDF 中，M 是 CF 的中点，
∴MD = MC = MF，
∴∠MDF = ∠F.
∵∠F = ∠DBE，∠MDF = ∠ADN，
∴∠DBE = ∠ADN，
∵AD ⊥ BC，
∴∠ADN + ∠BDN = 90°，
∴∠DBE + ∠BDN = 90°，
∴BE ⊥ ND.又
∵BE 是∠ABD 的平分线，
∴∠BND = ∠BDN，
∴BN = BD. ………… (10 分)

21. 综合与实践
【项目背景】
安全防范教育是培养学生健康成长的重要环节,提高学生的安全意识,使其具备安全知识和自我救护能力,养成良好的安全行为习惯,对于保障学生的人身安全和营造平安和谐的校园环境有重要意义.某校为加强安全教育,开展了“防溺水”安全知识检测.
【数据收集与整理】
某校七、八年级各有1000名学生,现从七、八年级学生中各随机抽取了$m$名学生进行测试,将各年级测试成绩按如表分组方式分成6个组(得分用$x$表示):

绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图,部分信息如下:
七年级测试成绩频数直方图 八年级测试成绩扇形统计图

已知八年级测试成绩$B$组的全部数据为75,77,78,79.
【数据分析与运用】
根据以上信息,完成以下任务:
任务1 $m=$80$$,$a=$16$$.
任务2 请直接写出七年级测试成绩的中位数落在哪一组.
任务3 若测试成绩不低于85分,则认定该学生对“防溺水”安全知识了解程度高,请估计该校七、八两个年级中,哪个年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些,并说明理由.

答案： 21 解：任务 1 依题意，m = 4 ÷ 5% = 80，
∴a = 80 - 8 - 24 - 12 - 4 - a，
∴a = 16，故答案为 80,16. …………………………… (4 分) 任务 2 8 + 16 = 24 ＜ 40，8 + 16 + 24 = 48 ＞ 41，
∴中位数落在 80 ≤ x ＜ 85，即 C 组. ………… (8 分) 任务 3 七年级测试成绩不低于 85 分的有 16 + 12 + 4 = 32(人)，
∴$\frac{32}{80}$ × 100% = 40%，八年级测试成绩不低于 85 分的有 1 - (20% + 5% + 5%) = 70%，
∵40% ＜ 70%，且两个年级学生数和抽取的学生数均相同，
∴八年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些. …………………………………………… (12 分)