《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

7. 寿县古城位于安徽省淮南市，淮河南岸，依八公山. 寿县古城始建于宋朝(1068-1224 年)，是棋盘式布局的一座宋城. 寿县古城有东门“宾阳门”，南门“通淝门”，西门“定湖门”，北门“靖淮门”四个城门供游客出人，某个周末小浩、小凡在寿县古城内游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个城门离开，则他们恰好从同一个城门出城的概率是 (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{16}$

答案： 7 B 【解析】将四个城门分别记为$A$，$B$，$C$，$D$，列表如下：
| | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
共有16种等可能的结果，其中他们恰好从同一个城门出城的结果有4种，
∴他们恰好从同一个城门出城的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。故选B。

8. 如图，$CD$为$\odot O$的直径，弦$AB$交$CD$于点$E$，点$C$为$AB$中点，若$\overset{\frown}{BC}$的度数为$60^{\circ}$，点$O$到$AD$的距离为$2$，则$OE$的长为 (D)


A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3$
D.$2$

答案： 8 D 【解析】如图，连接$AO$，过点$O$作$OH \perp AD$于$H$，
∵点$O$到$AD$的距离为2，
∴$OH=2$，
∵$CD$为$\odot O$的直径，$C$为$\widehat{AB}$中点，
∴$CD \perp AB$，
∵$BC$的度数为$60^{\circ}$，$C$为$\widehat{AB}$中点，
∴$\angle AOC=60^{\circ}$，
∴$\angle ODH=\frac{1}{2}\angle AOC=30^{\circ}$，
∵$\angle OHD=90^{\circ}$，
∴$OH=\frac{1}{2}OD$，
∵$\angle OAE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
∴$OE=\frac{1}{2}OA$，
∵$OA=OD$，
∴$OE=OH=2$。故选D。

9. 已知实数$a,b,c,p,q$其中$a\neq0$，满足$p + q = \frac{b}{a}$，$pq = \frac{c}{a}$. 则以下说法：①$b^{2}-4ac\geqslant0$；②$p,q$是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根；③$|p - q| = \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$；④若$a,b,c$均为奇数，则$p,q$可能都为整数. 其中正确的个数是 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 9 B 【解析】逐个说法分析如下：
| 序号 | 分析 | 说法是否正确 |
| --- | --- | --- |
| ① | $\because p+q=\frac{b}{a},pq=\frac{c}{a},\therefore b=(p+q)a$，$c=pqa,\therefore b^{2}-4ac=[(p+q)a]^{2}-4a× pqa=a^{2}[(p+q)^{2}-4pq]=a^{2}(p-q)^{2}\geq0$。 | 是 |
| ② | $\because p,q$是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根，$\therefore p+q=-\frac{b}{a},pq=\frac{c}{a}$，
∴与题中$p+q=\frac{b}{a}$不符。 | 否 |
| ③ | $(p+q)^{2}-4pq=\left(\frac{b}{a}\right)^{2}-4×\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}},\therefore \vert p-q\vert=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{\vert a\vert}$。 | 是 |
| ④ | 设$p,q$为整数，当$a,b,c$均为奇数时，则$p+q=\frac{b}{a}$为奇数，即$p,q$一奇一偶；$pq=\frac{c}{a}$为奇数，即$p,q$全为奇数，此时相矛盾。 | 否 |
故选B。

10. 如图，正方形$ABCD$的边长为 8，点$E,P$在边$AD$上运动，点$F$在边$CD$上运动，$ED = CF$，连接$BE,AF$交于点$G$，过点$C$作$CH\perp BE$于点$H$，连接$CP,PG$，下列结论中错误的是 (D)


A.$AE + BC\geqslant AF$
B.$\triangle AGB$的面积有最大值为 16
C.$CH + AG$有最大值为$8\sqrt{2}$
D.$CP + PG$的最小值为$2\sqrt{13}-4$

答案： 10 D 【解析】逐项分析如下：
$\because CH \perp BE$，$\therefore \angle HCB + \angle HBC = \angle GBA + \angle HBC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle HCB = \angle GBA$，又$\because \angle AGB = \angle BHC = 90^{\circ}$，$AB = BC$，$\therefore \triangle AGB \cong \triangle BHC (AAS)$，$\therefore CH = BG$，$\therefore AG + CH = AG + BG$。设$AG = a$，$BG = b$，在$Rt \triangle ABG$中，由勾股定理得$AG^{2} + BG^{2} = AB^{2}$，
$\therefore a^{2} + b^{2} = 8^{2} = 64$，$\because S_{\triangle ABG} = \frac{1}{2} AG · BG = \frac{1}{2} ab$，$\therefore \frac{1}{2} ab \leq 16$，$\therefore ab \leq 32$，
$\therefore (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \leq 64 + 64 = 128$，$\because a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\therefore a + b \leq 8\sqrt{2}$，
$\therefore AG + BG$的最大值为$8\sqrt{2}$，即$AG + CH$的最大值为$8\sqrt{2}$。
如图，作点$C$关于$AD$的对称点$N$，连接$PN$，$ON$，$\therefore DN = CD = 8$，$PN = PC$，$\therefore CP + PG = NP + PG$，$\therefore$当$N$，$P$，$G$，$O$四点共线时，$NP + PG$有最小值，即此时$CP + PG$有最小值，最小值为$ON - OG$。 如图，过点$O$作$OM \perp CD$于$M$，则四边形$AOMD$是矩形，$\therefore OM = AB = 8$，$DM = OA = \frac{1}{2} AB = 4$，$\therefore MN = DN + DM = 12$，
$\therefore ON = \sqrt{MN^{2} + OM^{2}} = 4\sqrt{13}$，
$\therefore ON - OG = 4\sqrt{13} - 4$，$\therefore CP + PG$的最小值为$4\sqrt{13} - 4$。故选D。

11. 计算：$\sqrt{16} + | -1| =$5.

答案： 11 5

12. 如图，在$\triangle ABC$中，分别以点$B,C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧交 $B$于点$D,E$，且点$D$恰好在$AC$边上，直线$DE$与$BC$交于点$O$，连接$BD,BE$， $CE$. 若$CD = 5,OD = 3$，则线段$BC$的长为8.

答案： 12 8