《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

22. 如图,在正方形$ABCD$中,点$O$是线段$AD$的中点,点$F$是线段$BC$上的动点,连接$OC$与$DF$交于点$P$,连接$AP$并延长交$CD$于点$E$.
(1)①如图1,当点$F$与点$B$重合时,求证:$DE=OD$.
②如图2,当点$F$是线段$BC$的中点时,求$\frac{DE}{DC}$的值.
(2)如图3,若$DE=CF$,求证:$DE^{2}=CE· CD$.

答案：
22 解：
(1)①证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle PDA = \angle PDC$，$DA = DC$，
在$\triangle PDA$和$\triangle PDC$中，$\begin{cases}\angle PDA = \angle PDC,\\DP = DP,\\DA = DC,\end{cases}$
$\therefore \triangle PDA \cong \triangle PDC (SAS)$，$\therefore \angle DAE = \angle DCO$.
在$\triangle ADE$和$\triangle CDO$中，$\begin{cases}\angle ADE = \angle CDO = 90°,\\AD = CD,\\\angle DAE = \angle DCO,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle CDO (ASA)$，
$\therefore DE = OD$.(4分)
②如图，连接$OF$，交$AE$于点$G$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD = BC$，$AD // BC$，
$\because$点$O$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，
$\therefore OD = FC$，
$\therefore$四边形$ODCF$是平行四边形，
$\therefore OP = CP$，$OF // CD$，
$\therefore \angle POG = \angle PCE$，$\angle PGO = \angle PEC$，
$\therefore \triangle GOP \cong \triangle ECP (AAS)$，
$\therefore OG = CE$.
$\because OF // CD$，$\therefore \triangle AOG \sim \triangle ADE$，
$\therefore \frac{OG}{DE} = \frac{AO}{AD} = \frac{1}{2}$，
$\because CE = \frac{1}{2}DE$，
$\therefore \frac{DC}{DE} = \frac{CE + DE}{DE} = \frac{\frac{1}{2}DE + DE}{DE} = \frac{3}{2}$，
$\because \frac{DE}{DC} = \frac{2}{3}$.(8分)

(2)证明：$\because CF = DE$，$\angle FCD = \angle EDA = 90°$，$CD = DA$，
$\therefore \triangle FCD \cong \triangle EDA (SAS)$，
$\therefore \angle CDF = \angle EAD$.
$\because \angle CDF + \angle ADP = 90°$，
$\therefore \angle DAE + \angle ADP = 90°$，
$\therefore \angle APD = 90°$.
$\because OA = OD$，$\therefore OP = OA = OD$，
$\therefore \angle OAP = \angle OPA = \angle CPE$，
$\therefore \angle CPE = \angle CDP$，
又$\because \angle PCE = \angle DCP$，
$\therefore \triangle CPE \sim \triangle CDP$，
$\therefore \frac{CP}{CD} = \frac{CE}{CP}$，
$\therefore CP^2 = CE · CD$.
$\because AD // BC$，$\therefore \angle ODP = \angle CFP$，
$\because \angle ODP = \angle OPD = \angle CPF$，
$\therefore \angle CFP = \angle CPF$，
$\therefore CP = CF = DE$，
$\therefore DE^2 = CE · CD$.(12分)

23. 已知二次函数$y=a(x-2)(x+a-1)$($a$为常数,且$a\neq 0$).
(1)若二次图象经过坐标原点,请求出此时函数图象的顶点坐标.
(2)二次函数的图象与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于点$C$,当点$C$的纵坐标取到最大值时,求出此时$\triangle ABC$的面积.
(3)当$2\leqslant x\leqslant 3$时,函数在$x=3$处取得最大值,请直接写出$a$的取值范围.

答案： 23 解：
(1)将$(0, 0)$代入$y = a(x - 2)(x + a - 1)$可得$-2a(a - 1) = 0$，
解得$a_1 = 0$(舍去)，$a_2 = 1$，
$\therefore y = x(x - 2) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$，
$\therefore$此时函数图象的顶点坐标为$(1, -1)$.(4分)
(2)令$y = 0$，则$a(x - 2)(x + a - 1) = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 1 - a$，
$\therefore |AB| = |2 - (1 - a)| = |1 + a|$，
当$x = 0$时，$y = -2a(a - 1) = -2a^2 + 2a = -2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$，
$\therefore$当$a = \frac{1}{2}$时，$y$有最大值$\frac{1}{2}$，
$\therefore AB = |1 + a| = \frac{3}{2}$，
$\therefore$此时$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$.(8分)
(3)由$y = a(x - 2)(x + a - 1)$得，该函数图象与$x$轴的交点为$(2, 0)$，$(1 - a, 0)$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = \frac{2 + 1 - a}{2} = \frac{3 - a}{2}$.
①当$a ＞ 0$时，开口向上，且$1 - a ＜ 1$，
$\therefore$抛物线的对称轴直线必在点$(2, 0)$的左侧，
当$x$离对称轴越远，$y$的值越大，即$2 \leq x \leq 3$时，函数在$x = 3$处取得最大值，
$\begin{cases}a ＞ 0,\frac{3 - a}{2} ＜ 2,\end{cases}$解得$a ＞ 0$.(11分)
②当$a ＜ 0$时，开口向下，且$1 - a ＞ 1$，当$x$离对称轴越远，$y$的值越小，
$\therefore$抛物线的对称轴直线必在点$(1, 0)$的右侧，而当对称轴直线位于$1 ＜ x ＜ 3$之间时，函数不可能在$x = 3$处取得最大值，
$\therefore \frac{3 - a}{2} \geq 3$时，函数在$x = 3$处取得最大值，解得$a \leq -3$，
综上，$a$的取值范围为$a \leq -3$或$a ＞ 0$.(14分)