《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

22. 如图1,$E$为凸四边形$ABCD$内一点,分别连接$AC,BE,DE$,延长$BE$交$AD$于点$F$.已知$AC\perp BC$,$EC\perp CD$,$\angle BAC=\angle EDC$.
(1)求证:$\triangle BCE\backsim\triangle ACD$.
(2)若$CE// AD$,求证:四边形$CDFE$是矩形.
(3)如图2,连接$CF$,若$\angle BAC=30°$,$AF=1$,$CF=3$,求$BF$的长.

答案： 22解：
(1)
∵AC ⊥ BC，EC ⊥ CD，
∴∠ACB = ∠DCE = 90°，
又
∵∠BAC = ∠EDC，
∴△ABC ∽ △DEC，
∴$\frac{BC}{CE}$ = $\frac{AC}{CD}$.
∵∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴∠BCE = ∠ACD，
∴△BCE ∽ △ACD. ……………… (4分)
(2)
∵CE // AD，
∴∠CDF = ∠DCE = 90°.
由
(1)知△BCE ∽ △ACD，
∴∠CBE = ∠CAD，
∵∠BAC + ∠ABF + ∠CBF = 90°，
∴∠BAC + ∠ABF + ∠CAF = 90°，
∴∠AFB = 90°，
∴四边形CDFE是矩形. ……………… (8分)
(3)在Rt△ABC中，∠BAC = 30°，
∴$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
如图，过点C作CG ⊥ CF，交BF于点G.
∵∠ACB = ∠FCG = 90°，
∴∠BCG = ∠ACF，
又
∵∠CBG = ∠CAF，
∴△BCG ∽ △ACF，
∴$\frac{BG}{AF}$ = $\frac{CG}{CF}$ = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，CG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$CF，由勾股定理得FG = $\sqrt{CG^2 + CF^2}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF，
∴BF = BG + FG = $\frac{\sqrt{3}}{3}$AF + $\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF，
∵AF = 1，CF = 3，
∴BF = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + 2$\sqrt{3}$ = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$. ……………… (12分)
要点归纳
相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形的判定方法：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③有两个角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.
(2)相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比，它们对应面积的比等于相似比的平方.

23. 在平面直角坐标系$xOy$中,已知顶点为$M$的抛物线$y=-x^2+bx+c$($b,c$均为常数)与$x$轴交于$A(-2,0)$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)若点$M$的横坐标为1.
(ⅰ)求$b,c$的值.
(ⅱ)点$P$在线段$BC$上,$AP$与$y$轴交于点$D$,若$PD=AD$,求$\triangle ODP$的面积.
(2)设点$M$的纵坐标为$h$,且$h=AB$,求$b$的值.

答案： 23解：
(1)(ⅰ)
∵抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于A(-2,0)，
∴-4 - 2b + c = 0，即c = 2b + 4，
∵点M的横坐标为1，
∴-$\frac{b}{2×(-1)}$ = 1，
∴b = 2，c = 8. ……………… (4分)
(ⅱ)由(ⅰ)得抛物线的表达式为y = -x² + 2x + 8，
∴B的坐标为(4,0)，C的坐标为(0,8)，易得直线BC的表达式为y = -2x + 8.
∵PD = AD，A(-2,0)，
∴点P的横坐标为2，
将点P的横坐标代入y = -2x + 8中，得y = 4，
∴点P的坐标为(2,4)，易得直线AP的表达式为y = x + 2，
∴点D的坐标为(0,2)，
∴S_△ODP = $\frac{1}{2}$×2×2 = 2. ……………… (9分)
(2)
∵抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于点A(-2,0)，
∴c = 2b + 4，
∴y = -x² + bx + 2b + 4 = -(x - $\frac{b}{2}$)² + $\frac{b^2}{4}$ + 2b + 4，即h = $\frac{b^2}{4}$ + 2b + 4 = $\frac{1}{4}$(b + 4)² ≥ 0，
易得抛物线y = -x² + bx + c的对称轴为x = $\frac{b}{2}$.
当$\frac{b}{2}$ ＞ -2，即b ＞ -4时，AB = 2×($\frac{b}{2}$ + 2) = b + 4，
∵h = AB，
∴$\frac{b^2}{4}$ + 2b + 4 = b + 4，整理得b² + 4b = 0，解得b = 0或b = -4(不合题意，舍去).
当$\frac{b}{2}$ ＜ -2，即b ＜ -4时，AB = 2×(-$\frac{b}{2}$ - 2) = -b - 4，
∵h = AB，
∴$\frac{b^2}{4}$ + 2b + 4 = -b - 4，整理得b² + 12b + 32 = 0，解得b = -8或b = -4(不合题意，舍去).
综上，b的值为0或 -8. ……………… (14分)