《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

22. 已知抛物线$y=ax^{2}-2x+1$($a\neq0$)的对称轴为直线$x=1$.
(1) 求$a$的值.
(2) 若点$M(x_{1},y_{1})$,$N(x_{2},y_{2})$都在此抛物线上,且$-1＜x_{1}＜0$,$1＜x_{2}＜2$.比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小,并说明理由.
(3) 设直线$y=m$($m＞0$)与抛物线$y=ax^{2}-2x+1$交于点A,B,与抛物线$y=3(x-1)^{2}$交于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.

答案：
22 解：
(1)由题意得，抛物线y=ax²−2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=−$\frac{−2}{2a}$=$\frac{1}{a}$=1，
∴a=1。
(2)y₁＞y₂。理由如下：
∵−1＜x₁＜0，
∴1＜y₁＜4；
∵1＜x₂＜2，
∴0＜y₂＜1，
∴y₁＞y₂。
(3)联立$\begin{cases}y=m(m＞0),\\y=x^2−2x+1=(x−1)^2,\end{cases}$
得A(1+$\sqrt{m}$，m)，B(1−$\sqrt{m}$，m)，
∴AB=2$\sqrt{m}$，
联立$\begin{cases}y=m(m＞0),\\y=3(x−1)^2,\end{cases}$
得C(1+$\frac{\sqrt{3m}}{3}$，m)，D(1−$\frac{\sqrt{3m}}{3}$，m)，即C(1+$\frac{\sqrt{3m}}{3}$，m)，D(1−$\frac{\sqrt{3m}}{3}$，m)，
∴CD=2×$\frac{\sqrt{3m}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{m}$，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\sqrt{3}$。

23. 如图1,在四边形ABCD中,$\angle ABC=\angle BCD$,点E在边BC上,且$AE// CD$,$DE// AB$,$CF// AD$交线段AE于点F,连接BF.
(1) 求证:$\triangle ABF\cong\triangle EAD$.
(2) 如图2,若$AB=9$,$CD=5$,$\angle ECF=\angle AED$,求BE的长.
(3) 如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求$\frac{BE}{EC}$的值.

答案： 23 解：
(1)
∵AE//CD，
∴∠AEB=∠BCD，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠ABC=∠AEB，
∴AB=AE。
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠ABC，∠AED=∠BAF。
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠DEC=∠BCD，
∴DE=DC。
∵CF//AD，AE//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF=CD，
∴AF=DE。
在△ABF和△EAD中，$\begin{cases}AB=EA,\\∠BAF=∠AED,\\AF=ED,\end{cases}$
∴△ABF≌△EAD(SAS)。
(2)
∵CF//AD，
∴∠EAD=∠CFE。
∵∠ECF=∠AED，
∴△EAD∽△CFE。
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{DE}{CE}=\frac{AE}{CF}$。
由
(1)知，四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，AF=CD。
∵AB=9，CD=5，
∴AE=9，AF=DE=5。
∴EF=AE−AF=9−5=4，
∵$\frac{CF}{4}=\frac{5}{CE}=\frac{9}{CF}$，
∴CF²=4×9=36，即CF=6，
∴CE=$\frac{10}{3}$。
∵∠ABC=∠BCD=∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DEC。
∵$\frac{BE}{AB}=\frac{EC}{DE}$，即$\frac{BE}{9}=\frac{3}{5}$，
∴BE=6。
(3)如图，延长BM，ED交于点G，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC=∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$。
设DC=DE=a，CE=b，$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=x$，则
AB=AE=ax，AF=CD=a，
∴EF=AE−AF=ax−a=a(x−1)，
∵AB//DG，
∴∠ABG=∠G，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM。
∵∠AMB=∠DMG，
∴△AMB≌△DMG(AAS)，
∴DG=AB=ax，
∴EG=DG+DE=ax+a=a(x+1)。
∵AB//DG(即AB//EG)，
∴△ABF∽△EGF，
∴$\frac{AB}{EG}=\frac{AF}{EF}$，即$\frac{ax}{a(x+1)}=\frac{a}{a(x−1)}$，
∴x²−2x−1=0，解得x=1+$\sqrt{2}$或x=1−$\sqrt{2}$(舍去)，
∴$\frac{BE}{EC}=x=1+\sqrt{2}$。
一题多解
(2)由
(1)知，△ABF≌△EAD，
∴BF=AD，又
∵AD=CF，
∴BF=CF，
∴∠FBE=∠ECF=∠AED=∠BAE，又
∵∠AEB=∠BEF，
∴△ABE∽△BFE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{BE}{EF}$，
∴BE²=AE·EF，又
∵AE=AB=9，EF=AE−AF=AE−CD=4，
∴BE=6。
(3)易证△ABE∽△DCE，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$。如图，过点M作MN//DE，交AE于点N，则AN=$\frac{1}{2}$AE，MN=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$CD。
∵AB//DE//MN，
∴△ABF∽△NMF，
∴$\frac{AF}{FN}=\frac{AB}{MN}=\frac{2AB}{CD}$，即$\frac{AF}{AN−AF}=\frac{2AB}{CD}$①。
设AF=a，EF=b，则AB=AE=a+b，
∴AN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{a+b}{2}$，
∴①式即为$\frac{a}{\frac{a+b}{2}-a}=\frac{2(a+b)}{a}$，
整理得b²=2a²，即b=$\sqrt{2}a$，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}=\frac{a+b}{a}=\sqrt{2}+1$。