《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

20. 如图,已知直线 $PA$ 交 $\odot O$ 于 $A$,$B$ 两点,$AC$ 是 $\odot O$ 的直径,作 $\angle PAC$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $D$,过 $D$ 作 $DE\perp PA$,垂足为 $E$.
(1)求证:$DE$ 为 $\odot O$ 的切线.
(2)若 $DE=4$,$BE=3AE$,求 $OA$ 的长.

答案： 20 解：
(1)证明：如图，连接DO，
∵DO = AO，
∴∠ADO = ∠DAO，
∵AD平分∠PAC，
∴∠DAE = ∠DAO，
∴∠DAE = ∠ADO，
∴DO//BE，
∴∠ODE + ∠DEF = 180°，
∵DE⊥PA，
∴∠DEF = 90°，
∴∠ODE = 180° - ∠DEF = 90°，
∴OD⊥DE，
又
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线。……(5分)
(2)如图，过点O作OF⊥AB，
∴∠OFE = 90°，AF = $\frac{1}{2}$AB。
又
∵∠ODE = ∠DEF = 90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF = DE = 4，EF = DO = AO，
∵BE = 3AE，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB，
∴AE = AF = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}$OD = $\frac{1}{2}$AO，
∴sin∠AOF = $\frac{AF}{OA}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠AOF = 30°。
在Rt△AOF中，AO = $\frac{OF}{\cos30°}$ = $\frac{OF}{\sqrt{3}}$×2 = $\frac{8}{\sqrt{3}}$ = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$。……(10分)
方法技巧
证明直线是圆的切线常用的两种方法
(1)若知道直线和圆有公共点，常连接该公共点和圆心，得到半径，再证明这条半径和该直线垂直，即“连半径，证垂直”。
(2)若不知道直线与圆是否有公共点，应过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段的长等于圆的半径，即“作垂直，证半径”。

21. 2025 年春节是春节申遗成功后的第一个春节.某校为了增强学生对春节传统民俗文化的兴趣,对全校同学进行了一次春节传统民俗文化知识问卷调查,问卷满分为 5 分,并抽取了部分同学的问卷,将所得的分数(单位:分)进行分类、统计,绘制了如下不完整的统计图.
请根据图中信息,解答下列问题.
(1)$a=$ 8,并补全条形统计图.
(2)请求出抽取的这部分同学的问卷成绩的中位数和平均数.
(3)若该校共有学生 1 200 人,请估计问卷成绩优秀(大于或等于 4 分)的学生人数.

答案：
21 解：
(1)根据题意，得10÷$\frac{72°}{360°}$ = 50(人)，
5分的人数所占百分比为4÷50 = 8% = a%，解得a = 8。……(2分)
2分的人数为：50×36% = 18(人)，4分的人数为：50 - 18 - 10 - 3 - 4 = 15(人)，
补全的条形统计图如下：

(2)将成绩从小到大排列，第25个数据和第26个数据均为3分，
∴中位数为3分。……(6分)
平均数为$\frac{3×1 + 18×2 + 10×3 + 15×4 + 5×4}{50}$ = 2.98(分)。……(8分)
(3)1200×$\frac{15 + 4}{50}$ = 456(人)。
答：估计问卷成绩优秀(大于或等于4分)的学生人数为456。……(12分)
方法技巧
解决统计图表类问题的一般方法
(1)计算样本容量。综合观察统计图表，从中得到各组频数或某组的频数以及该组的频率(即所占百分比)，然后利用“样本容量 = 各组频数之和”或“样本容量 = $\frac{某组的频数}{该组的频率}$”计算即可。
(2)补全有关统计图。
①补全条形统计图，一般涉及求未知组的频数，方法如下：
未知组的频数 = 样本容量 - 已知组的频数之和；未知组的频数 = 样本容量×该组的频率。
②补全扇形统计图，一般涉及求未知组所占的百分比或其所对圆心角的度数，方法如下：
未知组的百分比 = 1 - 已知组的百分比之和；未知组的百分比 = $\frac{未知组的频数}{样本容量}$×100%；
若求未知组在扇形统计图中所对圆心角的度数，则利用“360°×该组所占百分比”计算即可。