《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

18. 马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程,主桥采用主跨三塔钢桁梁斜拉桥,总长3248米,为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥,图1是正在建设中的边塔,如图2,为了测量边塔上的点$A$到地面的高度$AB$,数学测绘社团在与塔底$B$同一平面上选取两个测量点$C,D$,使得点$B,C,D$在同一条直线上,测得点$A$的仰角$\angle ACB = 60.3^{\circ}$,$\angle ADB = 37^{\circ}$,用米尺测得$C,D$之间的距离为160米,求$AB$的高.(参考数据:$\sin60.3^{\circ}\approx0.87$,$\cos60.3^{\circ}\approx0.50$,$\tan60.3^{\circ}\approx1.75$.$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$.)

答案： 18 解：设AB的高为x米，
在Rt△ABD中，∠ADB = 37°，tan37° ≈ 0.75 = $\frac{3}{4}$，tan∠ADB = $\frac{AB}{BD}$，
∴BD = $\frac{4}{3}$AB = $\frac{4}{3}$x，
在Rt△ABC中，∠ACB = 60.3°，tan60.3° ≈ 1.75 = $\frac{7}{4}$，tan∠ACB = $\frac{AB}{BC}$，
∴BC = $\frac{4}{7}$AB = $\frac{4}{7}$x，
∵CD = 160m，则BD - BC = 160m，即$\frac{4}{3}$x - $\frac{4}{7}$x = 160，解得x = 210.
答：AB的高为210m.

19. 观察下列等式:
第1个等式:$(1×2)^{2}-1×3×(1 - 1)=2×1×2$;
第2个等式:$(2×3)^{2}-2×4×(4 - 1)=2×2×3$;
第3个等式:$(3×4)^{2}-3×5×(9 - 1)=2×3×4$;
第4个等式:$(4×5)^{2}-4×6×(16 - 1)=2×4×5$;
$·s$
根据上面等式的规律,回答下列问题:
(1)写出第6个等式:.
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并证明.

答案： 19 解：
(1)(6×7)² - 6×8×(36 - 1) = 2×6×7.
(2)猜想的第n个等式为：[n(n + 1)]² - n(n + 2)(n² - 1) = 2n(n + 1).
证明：等式左边 = [n(n + 1)]² - n(n + 2)(n² - 1)
= n²(n + 1)² - n(n + 2)(n + 1)(n - 1)
= (n + 1)[n²(n + 1) - n(n + 2)(n - 1)]
= (n + 1)(n³ + n² - n³ - n² + 2n)
= 2n(n + 1)，
∴左边 = 右边，证毕.
要点归纳：整式运算类规律总结
(1)先观察一列等式的结构特点.
(2)观察每个数字与序数的关系.
(3)用含n的代数式表示出一般结论.
(4)运用整式运算，证明“左边 = 右边”即可.

20. 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,且$AB = AC$,作$AD\perp AB$,交$\odot O$于点$D$,交$BC$延长线于点$E$,过点$B$作$\odot O$的切线交$DA$的延长线于点$F$.
(1)求证:$BF = BE$.
(2)若$\odot O$的半径为13,$BC = 24$.求$CE$的长.

答案： 20 解：
(1)证明：如图，连接BD，由题意知∠BAD = 90°，故BD为直径，
∵AB = AC，
∴$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AC}$，
∴∠ADB = ∠ACB = ∠ABC，
∵∠BAD = 90°，
∴∠E = 90° - ∠ABC = 90° - ∠ADB，又
∵BF为⊙O切线，
∴∠FBD = 90°，
∴∠F = 90° - ∠ADB，
∴∠E = ∠F，
∴BF = BE.
(2)如图，作AG⊥BC于点G，则必过圆心O，
∵AB = AC，
∴BG = CG = $\frac{1}{2}$BC = 12，由勾股定理得OG = $\sqrt{OB² - BG²}$ = $\sqrt{13² - 12²}$ = 5，
∴AG = 13 + 5 = 18，AB² = BG² + AG² = 468.
∵cos∠ABG = $\frac{BG}{AB}$ = $\frac{AB}{BE}$，
∴BE = $\frac{AB²}{BG}$ = $\frac{468}{12}$ = 39，
∴CE = BE - BC = 39 - 24 = 15.