《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

8. 新课标·跨学科试题 生活中的很多变化都是物理变化或化学变化.下面的五张卡片除图片内容不同外,其他没有区别,放置于暗箱中摇匀.从中随机抽取两张卡片,卡片内容均为化学变化的概率为 (C)


A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{6}{25}$

答案： 8 C 【解析】将五张卡片分别记为A，B，C，D，E，其中卡片内容为化学变化的有A，D，E，
列表如下：
| | A | B | C | D | E |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) | (A,E) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | | (D,E) |
| E | (E,A) | (E,B) | (E,C) | (E,D) | |
共有20种等可能的结果，其中卡片内容均为化学变化的结果有：(A,D)，(A,E)，(D,A)，(D,E)，(E,A)，(E,D)，共6种，
∴卡片内容均为化学变化的概率为$\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$.故选C.

9. 新趋势·代数推理 已知$xy = x + y = k\neq0$,下列结论不正确的是 (D)

A.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$
B.$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}\geq2$
C.若$x,y$同号,则$k\geq4$
D.若$x,y$异号,则$-4\leq k\lt0$

答案： 9 D 【解析】逐项分析如下：
| 选项 | 分析 | 结论是否正确 |
| --- | --- | --- |
| A |
∵xy = x + y，
∴$\frac{xy}{xy}$ = $\frac{x + y}{xy}$，即1 = $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$. | 是 |
| B |
∵(x - 1)² + (y - 1)² = x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = x² + y² - 2(x + y) + 2 = (x - y)² + 2 ≥ 2. | 是 |
| C | 当x，y同号时，k = xy ＞ 0，
∵xy = x + y = k，
∴y = $\frac{x}{x - 1}$，
∴xy = $\frac{x²}{x - 1}$ = k，即x² - kx + k = 0，由题意得，x² - kx + k = 0存在根，
∴Δ = k² - 4k ≥ 0，解得k ≤ 0或k ≥ 4，
∵k = xy ＞ 0，
∴k ≥ 4. | 是 |
| D | 当x，y异号时，k = xy ＜ 0，由选项C可知k² - 4k ≥ 0，解得k ≤ 0或k ≥ 4，
∵k = xy ＜ 0，
∴k ＜ 0，而不是 - 4 ≤ k ＜ 0. | 否 |
故选D.

10. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$BC = 5$,$\tan\angle A=\frac{1}{2}$,点$D,E$分别在$AB,AC$边上,将$\triangle ADE$沿$DE$翻折得到$\triangle A'DE$,$A'E$与$AB$相交于点$F$,$A'D\perp AB$.若$\triangle BEF$与$\triangle BCE$面积相等,$AD$的长为 (B)


A.$3\sqrt{2}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$2\sqrt{3}$

答案： 10 B 【解析】如图，作EH⊥AB于点H，
∵A'D⊥AB，可得∠A'DA = 90°，再由折叠性质可得∠ADE = ∠A'DE = $\frac{360° - 90°}{2}$ = 135°，AD = A'D，
∴∠EDH = 45°，从而△EDH为等腰直角三角形，
∴EH = DH，在Rt△ABC中，tan∠A = $\frac{1}{2}$，BC = 5，
∴AB = 10，同理可得AH = 2EH，故设AD = DH = EH = A'D = x，在△DFA'和△HFE中，$\begin{cases}∠A'DF = ∠EHF = 90°\\∠DFA' = ∠HFE\\A'D = EH\end{cases}$，
∴△DFA' ≌ △HFE(AAS)，
∴DF = FH = $\frac{1}{2}$x，
∴BF = AB - AD - DF = 10 - $\frac{3}{2}$x，
∴S△BEF = $\frac{1}{2}$BF·EH = $\frac{1}{2}$x(10 - $\frac{3}{2}$x)，S△BCE = $\frac{1}{2}$BC·BH = $\frac{5}{2}$·(10 - 2x)，
∵△BEF与△BCE面积相等，
∴$\frac{1}{2}$x(10 - $\frac{3}{2}$x) = 25 - 5x，整理得3x² - 40x + 100 = 0，解得x = $\frac{10}{3}$或x = 10(舍去)，即AD = $\frac{10}{3}$.故选B.
要点归纳：解决折叠问题的一般思考过程
图形折叠的本质是轴对称，解决折叠问题的关键是寻找图形中相等的线段、角。此类问题的一般思考过程如下：
(1)利用轴对称的性质找到折叠前后的不变量与变量。
(2)根据题目已知角、线段之间的关系，结合三角形的内角和定理、三角形的内角与外角的关系，把待求解的线段或角转移到相应的直角三角形、等腰三角形等特殊三角形中进一步求解。
(3)若简单的等量关系不能直接解决问题，则思考能否在构造出来的三角形中运用勾股定理、锐角三角函数、三角形的全等或相似等知识建立有关线段、角之间的联系。
(4)解答折叠问题中的计算问题，有时还需要将折叠图还原，而后利用折叠前后对应三角形、线段、角的关系以及相似三角形的性质、勾股定理等进行下一步的计算。

11. 计算:$\sqrt[3]{-8}+(-1)^{0}=$-1$$.

答案： 11 -1

12. 如图,两个三角板如图放置,其中$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle D = 45^{\circ}$,若$BC// DE$,则$\angle CAE$的度数为15°.

答案： 12 15°

13. 如图,在$Rt\triangle OAB$中,$\angle ABO = 90^{\circ}$,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交$OA,AB$于点$C,D$,$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{3}$,连接$CD$,若$\triangle ACD$的面积为$\frac{5}{4}$,则$k$的值是6.

答案： 13 6 【解析】如图，过点C作CE⊥OB于点E，则CE//AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴$\frac{OC}{OA}$ = $\frac{CE}{AB}$ = $\frac{OE}{OB}$ = $\frac{2}{3}$.设C(2m，$\frac{k}{2m}$)，则OE = 2m，CE = $\frac{k}{2m}$，
∴OB = 3m，AB = $\frac{3k}{4m}$，则点D的坐标可设为(3m，$\frac{k}{3m}$)，BE = m，
∴AD = $\frac{3k}{4m}$ - $\frac{k}{3m}$ = $\frac{5k}{12m}$，又
∵△ACD的面积为$\frac{5}{4}$，即$\frac{1}{2}$AD·BE = $\frac{5}{4}$，即$\frac{1}{2}$×$\frac{5k}{12m}$×m = $\frac{5}{4}$，解得k = 6.
　　　　　　　y　　　　A
D　y = $\frac{k}{x}$
　　　　　　　0　　EB　　　x