《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

19. (8分)如图所示,已知点$A(4,m),B(-1,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上.
(1)求直线$AB$的函数表达式.
(2)直线$AB$与$x$轴交于点$C$,求点$C$的坐标.

答案： 19.解：
(1)$\because$点$A(4,m),B(-1,n)$在反比例
函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
$\therefore m=2,n=-8$.
$\therefore A(4,2),B(-1,-8)$.
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，
则$\begin{cases}4k+b=2,\\-k+b=-8.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-6.\end{cases}$
$\therefore$直线AB的函数表达式为$y=2x-6$.
(2)在$y=2x-6$中，当$y=0$时，$2x-6=0$，
$\therefore x=3$.
$\therefore$点C的坐标为$(3,0)$.

20. (10分)如图所示,在以$O$为原点的平面直角坐标系中,点$A,C$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上,点$B(a,b)$在第一象限,四边形$OABC$是矩形,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象与$AB$相交于点$D$,与$BC$相交于点$E$,且$BE = 2CE$.
(1)求证:$BD = 2AD$.
(2)若四边形$ODBE$的面积是$6$,求$k$的值.

答案： 20.
(1)证明：$\because BE=2CE,B(a,b)$，
$\therefore$点E的坐标为$(\frac{1}{3}a,b)$.
又$\because$点E在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=\frac{1}{3}ab$.
$\because$点D的横坐标为$a$，点D在反比例函数
$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$点D的纵坐标为$\frac{1}{3}b$.
$\therefore BD=2AD$.
(2)解：$\because S_{四边形ODBE}=6$，
$\therefore S_{矩形ABCO}-S_{\triangle OCE}-S_{\triangle OAD}=6$，
即$ab-\frac{1}{6}ab-\frac{1}{6}ab=6$.
$\therefore ab=9$.
$\therefore k=\frac{1}{3}ab=3$.