《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

18. (7分)如图所示,有一块长方形的地,长为$x$m,宽为12m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙为正方形,现计划甲建成住宅区,乙建成商场,丙开辟成公园.
(1)请用含$x$的代数式表示正方形乙的边长:(x-12)m.
(2)若丙地的面积为$32m^2$,请求出$x$的值.

答案： 18.
(1)$(x-12)$
(2)解：结合
(1)得，丙的宽为$(24-x)m$，所以丙的面积为$(x-12)(24-x)$。列方程得$(x-12)(24-x)=32$，解得$x_{1}=20$，$x_{2}=16$。

19. (8分)如图所示,某同学学习了电流和电路后设计了如图所示的电路图,其中$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$分别表示四个可开闭的开关,“$⊗$”表示小灯泡,“$|$”表示电源. 电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作,当闭合开关$S_1$,$S_2$,$S_3$中的任意一个,再闭合开关$S_4$时,小灯泡发光. 按要求解答下列问题.
(1)当开关$S_1$闭合时,再随机闭合开关$S_2$或$S_3$或$S_4$中的一个,小灯泡发光的概率为1/3.
(2)当随机闭合开关$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$中的两个时,请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率.

答案：
19.
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解：画树状图，如图所示。

由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，
$\therefore$小灯泡发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。

20. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$,$x_2$.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3$,求$m$的值.

答案： 20.解：
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m-2)x+m^{2}-2=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$。
$\therefore(2m-2)^{2}-4×1×(m^{2}-2)＞0$，
解得$m＜\frac{3}{2}$。
(2)$\because x_{1}$和$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+(2m-2)x+m^{2}-2=0$的两根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=2-2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-2$。
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=3$，
$\therefore(2-2m)^{2}-3m^{2}+6=3$。
$\therefore m^{2}-8m+7=0$，
解得$m_{1}=7$，$m_{2}=1$。
$\because m＜\frac{3}{2}$，$\therefore m=1$。