《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

17. (6 分) 如图所示, 在菱形 $ABCD$ 中, $\angle B = \angle EAF = 60^{\circ}$, $\angle BAE = 20^{\circ}$, 求 $\angle CEF$ 的度数.

答案： $\angle CEF = 20^{\circ}$.

18. (6 分) 如图所示, 四边形 $ABCD$ 是矩形, 对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, $BE// AC$, 交 $DC$ 的延长线于点 $E$.
(1) 求证: $BD = BE$.
(2) 若 $\angle DBC = 30^{\circ}$, $BO = 1$, 求四边形 $ABED$ 的面积.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AC = BD,AB// CD$.
$\because BE// AC$,
$\therefore$四边形$ABEC$是平行四边形.
$\therefore AC = BE.\therefore BD = BE$.
(2)解：在矩形$ABCD$中，$BO = 1$,
$\therefore BD = 2×1 = 2$.
$\because\angle DBC = 30^{\circ}$,
$\therefore\angle BDC = 90^{\circ}- 30^{\circ}= 60^{\circ}$.
$\therefore\triangle OCD$是等边三角形.
$\therefore CD = OD = 1$.
$\therefore AB = CD = 1,DE = CD + CE = CD + AB = 1 + 1 = 2$.
在$Rt\triangle BCD$中，$BC = \sqrt{BD^{2}-CD^{2}} = \sqrt{2^{2}-1^{2}} = \sqrt{3}$,
$\therefore$四边形$ABED$的面积为$\frac{1}{2}(AB + DE)· BC = \frac{1}{2}×(1 + 2)×\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

19. (6 分) 如图所示, $E$ 是正方形 $ABCD$ 内一点, $\triangle EDC$ 是等边三角形, 连接 $AE$, $BE$, 延长 $BE$, 交边 $AD$ 于点 $F$.
(1) 求证: $\triangle ADE\cong\triangle BCE$.
(2) 求 $\angle AEF$ 的度数.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD = BC,\angle ADC = \angle BCD = 90^{\circ}$.
又$\because\triangle CDE$是等边三角形，
$\therefore CE = DE,\angle EDC = \angle ECD = 60^{\circ}$.
$\therefore\angle ADE = \angle ECB$.
$\therefore\triangle ADE\cong\triangle BCE(SAS)$.
(2)解：$\because\triangle CDE$是等边三角形，
$\therefore CE = CD = DE$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore CD = AD.\therefore DE = AD$.
$\therefore\triangle ADE$为等腰三角形，且顶角$\angle ADE = 90^{\circ}- 60^{\circ}= 30^{\circ}$.
$\therefore\angle DAE = \frac{1}{2}×(180^{\circ}- 30^{\circ}) = 75^{\circ}$.
由
(1)知$\triangle ADE\cong\triangle BCE$,
$\therefore\angle EBC = \angle DAE = 75^{\circ}$.
$\because AD// BC$,$\therefore\angle AFB = \angle EBC = 75^{\circ}$.
$\therefore\angle AEF = 180^{\circ}-\angle AFB - \angle DAE = 180^{\circ}- 75^{\circ}- 75^{\circ}= 30^{\circ}$.

20. (6 分) 如图所示, 在 $□ ABCD$ 中, $E$, $F$ 为边 $BC$ 上两点, 且 $BE = CF$, $AF = DE$.
(1) 求证: $\triangle ABF\cong\triangle DCE$.
(2) 四边形 $ABCD$ 是矩形吗? 为什么?

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB = CD$.
$\because BE = CF$,$\therefore BF = CE$.
在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，
$\begin{cases}AB = CD,\\AF = DE,\\BF = CE,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABF\cong\triangle DCE(SSS)$.
(2)解：四边形$ABCD$是矩形.
理由：$\because\triangle ABF\cong\triangle DCE$,
$\therefore\angle B = \angle C$.
$\because$在平行四边形$ABCD$中，$AB// CD$,
$\therefore\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\therefore\angle B = \angle C = 90^{\circ}$.
$\therefore$四边形$ABCD$是矩形.