《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

22. (8分)随着新能源汽车的普及,为了适应社会的需求,全国各地都在加快公共充电桩的建设. 某省 2022 年公共充电桩的数量为 $ 1 $ 万个,2024 年公共充电桩的数量为 $ 2.89 $ 万个.
(1) 求 2022 年至 2024 年该省公共充电桩数量的年平均增长率.
(2) 按照这样的增长速度,预计 2025 年该省将新增多少万个公共充电桩.

答案： 22.解:
(1)设2022年至2024年该省公共充电桩数量的年平均增长率为$x$，
　由题意得$(1 + x)^2=2.89$，
　解得$x_1=0.7=70\%$，$x_2=-2.7$（不合题意，舍去）。
　答:2022年至2024年该省公共充电桩数量的年平均增长率为$70\%$。
(2)$2.89×70\%=2.023$（万个）。
　答:预计2025年该省将新增$2.023$万个公共充电桩。

23. (8分)如图所示,一条长为 $ 10\ m $ 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 $ 8\ m $,如果梯子的顶端下滑 $ 1\ m $,那么底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离相等吗? 若相等,请说明理由;若不相等,回答下列问题.
(1) 梯子顶端下滑 $ 1\ m $,则底端滑动几米?
(2) 梯子顶端下滑多少米时正好等于底端滑动的距离?

答案：
23.解:
(1)下滑前梯子底端与墙的距离为$\sqrt{10^2 - 8^2}=6$（m），
　下滑后梯子底端与墙的距离为$\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}$（m），
　故底端滑动$(\sqrt{51}-6)$m。
(2)如图所示，由题意可知$AB = 10$m，$AC=8$m。

　设$AD=x$m，则$BE=x$m，
　在$Rt△ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$（m）。
　当$B$滑动到$E$时，$DE=AB = 10$m，$CD=AC - AD=(8 - x)$m。
　在$Rt△CDE$中，$CE=\sqrt{DE^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - (8 - x)^2}=6 + x$，则$x=2$。
　答:梯子顶端下滑$2$m时，梯子底端滑动的距离和它相等。

24. (8分)将一条长为 $ 20\ cm $ 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 $ 13\ cm^{2} $,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于 $ 12\ cm^{2} $ 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.

答案： 24.解:
(1)设其中一个正方形的边长为$x$cm，则另一个正方形的边长为$(5 - x)$cm，
　由题意得$x^2 + (5 - x)^2=13$，
整理得$x^2 - 5x + 6=0$，
即$(x - 2)(x - 3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，
$2×4=8$（cm），$20 - 8=12$（cm）；
或$3×4=12$（cm），$20 - 12=8$（cm）。
因此，这段铁丝剪成两段后的长度分别是$8$cm，$12$cm。
(2)两个正方形的面积之和不可能等于$12$cm²。
理由:设两个正方形的面积和为$y$，
则$y=x^2 + (5 - x)^2=2(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{2}$。
∵$a=2＞0$，
∴当$x=\frac{5}{2}$时，$y$的最小值为$12.5$。
∵$12.5＞12$，
∴两个正方形的面积之和不可能等于$12$cm²。