《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

21. (9分)如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ},AB = 5$ cm,$BC = 7$ cm.点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以1 cm/s的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以2 cm/s的速度移动.
(1) 如果$P,Q$分别从$A,B$同时出发,那么几秒后,$\triangle PBQ$的面积等于6 cm²?
(2) 如果$P,Q$分别从$A,B$同时出发,那么几秒后,$PQ$的长度等于5 cm?
(3) 在(1)中,$\triangle PQB$的面积能否等于8 cm²? 请说明理由.

答案： 21.解：
(1)设经过$x$ s以后$\triangle PBQ$的面积为$6cm^{2}$，
由题意得$\frac{1}{2} × (5-x) × 2x=6$，
整理得$x^{2}-5x+6=0$，
解得$x=2$或$x=3$.
答：$2s$或$3s$后$\triangle PBQ$的面积等于$6cm^{2}$.
(2)设$ts$后，$PQ=5cm$.
在$Rt\triangle PBQ$中，
$\because BP^{2}+BQ^{2}=PQ^{2}$，
$\therefore (5-t)^{2}+(2t)^{2}=5^{2}$，
即$5t^{2}-10t=0$，
解得$t_{1}=0$(舍去)，$t_{2}=2$.
$\therefore$当$t=2$时，$PQ$的长度等于$5cm$.
(3)假设$\triangle PBQ$的面积为$8cm^{2}$，
则$\frac{1}{2} × (5-x) × 2x=8$，
整理得$x^{2}-5x+8=0$.
$(-5)^{2}-4 × 1 × 8=-7＜0$，
$\therefore$该方程无实数根.
$\therefore\triangle PQB$的面积不能等于$8cm^{2}$.

22. (10分)等腰$\triangle ABC$的直角边$AB = BC = 10$ cm,点$P,Q$分别从$A,C$两点同时出发,均以1 cm/s的速度做直线运动,已知点$P$沿射线$AB$运动,点$Q$沿边$BC$的延长线运动,$PQ$与直线$AC$相交于点$D$.设点$P$运动的时间为$t$ s,$\triangle PCQ$的面积为$S$.
(1) 求$S$关于$t$的函数关系式.
(2) 当点$P$运动几秒时,$S_{\triangle PCQ}=S_{\triangle ABC}$?
(3) 作$PE\perp AC$于点$E$,当点$P,Q$运动时,线段$DE$的长度是否改变? 证明你的结论.

答案： 22.解：
(1)当$t＜10$时，点$P$在线段$AB$上，此时$CQ=tcm,PB=(10-t)cm$，
$\therefore S=\frac{1}{2} × t(10-t)=\frac{1}{2}(10t-t^{2})$.
当$t＞10$时，$P$在线段$AB$的延长线上，此时$CQ=tcm,PB=(t-10)cm$，
$\therefore S=\frac{1}{2} × t(t-10)=\frac{1}{2}(t^{2}-10t)$.
(2)$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB · BC=50cm^{2}$，
$\therefore$当$t＜10$时，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}(10t-t^{2})=50$，
整理得$t^{2}-10t+100=0$，此方程无解；
当$t＞10$时，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}(t^{2}-10t)=50$，
整理得$t^{2}-10t-100=0$，解得$t=5 \pm 5\sqrt{5}$
(舍去负值).
$\therefore$当点$P$运动$(5+5\sqrt{5})s$时，$S_{\triangle PCQ}=S_{\triangle ABC}$.
(3)当点$P,Q$运动时，线段$DE$的长度不会改变.
证明：过点$Q$作$QM\perp AC$，交直线$AC$于点$M$，连接$QE$(图略)，
易证得$\triangle APE \cong \triangle QCM$，
$\therefore AE=PE=CM=QM=\frac{\sqrt{2}}{2}t$.
$\therefore$四边形$PEQM$是平行四边形，且$DE$是对角线$EM$的一半.
又$\because EM=AC=10\sqrt{2},\therefore DE=5\sqrt{2}$.
$\therefore$当点$P,Q$运动时，线段$DE$的长度不会改变.
同理，当点$P$在点$B$右侧时，$DE=5\sqrt{2}$.
综上所述，当点$P,Q$运动时，线段$DE$的长度不会改变.