《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

20. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m + 3)x + m^2 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$x_1$,$x_2$是一元二次方程$x^2 - (2m + 3)x + m^2 = 0$的两个根,且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 1$,求$m$的值.

答案： 20.解:
(1)根据题意得$[-(2m+3)]^{2}-4m^{2}＞0$，
解得$m＞-\frac{3}{4} $，
即m的取值范围为$m＞-\frac{3}{4} $.
(2)根据根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=2m+3$，$x_{1}x_{2}=m^{2}$.
∵$\frac{1}{x_{1}} +\frac{1}{x_{2}} =1$，
∴$x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$.
∴$2m+3=m^{2}$，解得$m_{1}=3$，$m_{2}=-1$.
∵$m＞-\frac{3}{4} $，
∴m=3.

21. (9分)某商店销售一款工艺品,每件成本为100元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是160元时,每月的销售量是200件,而销售单价每降低1元,每月可多销售10件.设这种工艺品每件降价$x$元.
(1)每件工艺品的实际利润为(60−x)元.(用含有$x$的式子表示)
(2)为达到每月销售这种工艺品的利润为15000元,且要求降价不超过20元,那么每件工艺品应降价多少元?

答案： 21.
(1)(60−x)
(2)解:设每件工艺品应降价x元，由题意得
$(160-100-x)(200+10x)=15000$，
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=30$(不符题意，舍去).
答:每件工艺品应降价10元.