《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

15. 如图所示,在一张矩形纸片$ABCD$中,$AB = 4$,$BC = 8$,点$E$,$F$分别在$AD$,$BC$上,将矩形$ABCD$沿直线$EF$折叠,点$C$落在$AD$边上的点$H$处,点$D$落在点$G$处,下列结论正确的是①②④(填序号).
①四边形$CFHE$是菱形
②线段$BF$的取值范围是$3 \leq BF \leq 4$
③$EF = 2DE$
④当点$H$与点$A$重合时,$EF = 2\sqrt{5}$

答案：
15.①②④　解析:①FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD，BC的一部分，
∴FH//CG，EH//CF.
∴四边形CFHE是平行四边形.
由翻折的性质得CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确.
②当点H与点A重合时，
设BF=x，则AF=FC=8−x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即$4^{2}+x^{2}=(8-x)^{2} $，
解得x=3.
当点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4.
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故②正确.
③设EF，HC相交于点O，
∵四边形CFHE是菱形，
∴CE=CF，CH⊥EF.
∴∠BCH=∠ECH.
若EF=2DE，则EO=ED，则EC平分∠DCH，
∴∠DCE=∠ECH=∠HCB.
∴∠DCE=30°，即只有当∠DCE=30°时，EF=2DE，故③错误.
④如图所示，过点F作FM⊥AD于点M，

则ME=(8−3)−3=2，
由勾股定理得EF=$\sqrt{MF^{2}+ME^{2}} $=$2\sqrt{5} $，
故④正确.
故答案为①②④.

16. (7分)解下列方程:
(1)$2x^2 - 4x - 5 = 0$.
(2)$(x - 3)^2 - 4x(3 - x) = 0$.

答案： 1. （1）解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$2x^{2}-4x - 5 = 0$中，$a = 2$，$b=-4$，$c=-5$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×(-5)$
$=16 + 40$
$=56$。
再代入求根公式：
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$。
所以$x_{1}=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{2 - \sqrt{14}}{2}$。
2. （2）解：
对$(x - 3)^{2}-4x(3 - x)=0$进行变形：
因为$(x - 3)^{2}-4x(3 - x)=(x - 3)^{2}+4x(x - 3)$。
提取公因式$(x - 3)$得：$(x - 3)[(x - 3)+4x]=0$。
即$(x - 3)(x - 3 + 4x)=0$，进一步化简为$(x - 3)(5x-3)=0$。
则$x - 3 = 0$或$5x-3 = 0$。
当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$；
当$5x-3 = 0$时，$5x=3$，解得$x=\frac{3}{5}$。
综上，（1）方程的解为$x_{1}=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{2 - \sqrt{14}}{2}$；（2）方程的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{3}{5}$。

17. (7分)如图所示,在菱形$ABCD$中,过点$B$作$BE \perp AD$于点$E$,过点$B$作$BF \perp CD$于点$F$.求证:$AE = CF$.

答案： 17.证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠A=∠C.
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°.
在△ABE与△CBF中，
$\begin{cases} ∠BEA=∠BFC, \\ ∠A=∠C, \\ BA=BC, \end{cases} $
∴△ABE≌△CBF(AAS).
∴AE=CF.