《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

18. (10分)如图所示,已知直线$y = \frac{1}{2}x$与双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$交于$A$,$B$两点,且点$A$的横坐标为$4$.
(1)求$k$的值.
(2)若双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$上一点$C$的纵坐标为$8$,求$\triangle AOC$的面积.
(3)另一条直线$y = 2x$交双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$于$P$,$Q$两点($P$点在第一象限),若以点$P$为顶点组成四边形$AQBP$,求四边形$AQBP$的面积.

答案：
18.解：
(1)把x = 4代入$y = \frac{1}{2}x，$得y = 2，
∴点A的坐标为(4,2).
把点A(4,2)的坐标代入$y = \frac{k}{x}，$
得k = 4 × 2 = 8.
(2)如图1所示，过点A作AF ⊥ x轴于点F，过点C作CE ⊥ y轴于点E，CG ⊥ x轴于点G，
由
(1)知反比例函数的表达式为$y = \frac{8}{x}，$
令y = 8，则x = 1，
∴点C的坐标为(1,8).
∴$S_{\triangle AOC} = S_{五边形AFOEC} - S_{\triangle COE} - S_{\triangle OAF}$
$= 8 + \frac{1}{2} × (2 + 8) × 3 - \frac{1}{2} × 8 × 1 - \frac{1}{2} × 4 × 2$
= 15.

(3)如图2所示，过点A作AE ⊥ x轴于点E，过点P作PD ⊥ x轴于点D，
解方程组$\begin{cases}y = 2x, \\ y = \frac{8}{x} \end{cases}$得$\begin{cases}x = 2, \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} x = -2, \\ y = -4 \end{cases}，$
∴点P的坐标为(2,4)，点Q的坐标为(-2,-4).
∴点P与点Q关于原点中心对称.
∴OP = OQ.
同理可得OA = OB，
∴四边形AQBP为平行四边形.
∴$S_{\triangle OAP} = S_{梯形PDEA}- \frac{1}{2} × (2 + 4) × 2 = 6.$
∴$S_{四边形AQBP} = 4S_{\triangle OAP} = 24.$

19. (10分)如图所示,已知双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$与直线$y = k'x$交于$A$,$B$两点,点$A$在第一象限,试解答下列问题.
(1)若点$A$的坐标为$(4,2)$,则点$B$的坐标为(-4,-2);若点$A$的横坐标为$m$,则点$B$的坐标可表示为 (-m, - \frac{k}{m}).
(2)如图2所示,过原点$O$作另一条直线$l$,交双曲线$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$于$P$,$Q$两点,点$P$在第一象限.说明四边形$APBQ$一定是平行四边形.

答案： $(1)(-4,-2) (-m, - \frac{k}{m}) $解析：由对称性得，点A与点B关于原点对称.
∵点A的坐标为(4,2)，
∴点B的坐标为(-4,-2).
∵点A的横坐标为m，
∴把x = m代入$y = \frac{k}{m}，$得$A(m, \frac{k}{m})，$
则点B的坐标为$(-m, - \frac{k}{m}).$
(2)解：由对称性得点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA = OB,OP = OQ.
∴四边形APBQ一定是平行四边形.