《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

25. (12分)在正方形$ABCD$中,$AB = 6$,$P$是对角线$BD$上一点,点$F$在直线$AB$上,点$E$在直线$BC$上,且$\angle FPE = 90^{\circ}$.
(1)如图1所示,当点$P$与点$D$重合时,点$F$在$BA$的延长线上,则线段$PF$和线段$PE$的数量关系是PF=PE.
(2)如图2所示,当点$F$在$AB$边上时,(1)中的结论是否依然成立? 请说明理由.
(3)如图3所示,当点$P$与对角线$AC$,$BD$的交点重合时,点$F$在$AB$边上,若$AF = 1.5$,连接$CF$,$DE$,交点为$H$,求此时$FH$的长.

答案：
25.
(1)$PF=PE$ 解析：$\because$四边形ABCD是正方形，
$\therefore\angle ADC=\angle C=\angle BAD=90^{\circ}$，$AD=CD$。
$\because\angle EDF=90^{\circ}$，
$\therefore\angle ADF=\angle CDE$。
$\therefore\triangle CDE\cong\triangle ADF(ASA)$。
$\therefore DE=DF$，即$PE=PF$。
(2)解：依然成立。
理由：过点P作$PM\perp AB$于点M，过点P作$PN\perp BC$于点N，

$\therefore\angle PMF=90^{\circ}=\angle PNE$。
$\because$四边形ABCD是正方形，P在BD上，
$\therefore\angle ABP=\angle CBP$。
$\therefore PM=PN$。
$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore\angle ABC=90^{\circ}$。
$\therefore\angle MPN=360^{\circ}-\angle PMB-\angle PNB-\angle ABC=90^{\circ}$。
$\because\angle FPE=90^{\circ}$，
$\therefore\angle MPF+\angle FPN=\angle EPN+\angle FPN$。
$\therefore\angle MPF=\angle EPN$。
在$\triangle PMF$和$\triangle PNE$中，
$\begin{cases}\angle PMF=\angle PNE, \\PM=PN, \\\angle MPF=\angle NPE,\end{cases}$
$\therefore\triangle PMF\cong\triangle PNE(ASA)$。
$\therefore PF=PE$。
(3)解：由
(2)知$PF=PE$。
$\because$四边形ABCD是正方形，P是对角线的交点，
$\therefore AP=BP=PD=PC$，$AC\perp BD$。
$\therefore\angle APB=\angle DPC=90^{\circ}$。
$\because\angle FPE=90^{\circ}$，$\therefore\angle APF=\angle BPE$。
在$\triangle APF$和$\triangle BPE$中，
$\begin{cases}PF=PE, \\\angle APF=\angle BPE, \\AP=BP,\end{cases}$
$\therefore\triangle APF\cong\triangle BPE(SAS)$。
$\therefore AF=BE=1.5$。
$\therefore EC=BC-BE=6-1.5=4.5$。
$\therefore ED=\sqrt{EC^{2}+DC^{2}}=7.5$。
$\because\angle FPC=90^{\circ}+\angle EPC=\angle EPD$，
在$\triangle FPC$和$\triangle EPD$中，
$\begin{cases}PF=PE, \\\angle FPC=\angle EPD, \\PD=PC,\end{cases}$
$\therefore\triangle FPC\cong\triangle EPD(SAS)$。
$\therefore FC=DE=7.5$，$\angle PFC=\angle PED$。
$\because\angle PFC+\angle FPE=\angle PED+\angle FHE$，
$\therefore\angle FHE=\angle FPE=90^{\circ}$，
即HC是$\triangle EDC$斜边上的高。
由面积关系得$S_{\triangle EDC}=\frac{1}{2}EC· DC=\frac{1}{2}ED· HC$，
$\therefore HC=\frac{EC· DC}{ED}=\frac{4.5×6}{7.5}=3.6$。
$\therefore FH=FC-HC=7.5-3.6=3.9$。