《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

19. (6分) 已知在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ},CD$ 平分 $\angle ACB$,且 $DE\perp AC,DF\perp BC$. 求证:四边形 $DECF$ 是正方形.

答案： 19.证明:
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°,
∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.
∴四边形DECF是矩形.
∴DF//EC.
∴∠FDC=∠ECD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠FCD=∠ECD.
∴∠FDC=∠FCD.
∴DF=CF.
∴四边形DECF是正方形.

20. (8分) 如图所示,在平行四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD,E,F$ 是对角线 $BD$ 上的点,且 $BE = DF$,连接 $AE,CF,AF,CE$. 求证:四边形 $AFCE$ 是菱形.

答案：
20.证明:如图所示，设AC交BD于点O，
　　　　　
∵AB=AD,四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
∵BE=DF,
∴OB−BE=OD−DF,即EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又
∵AC⊥BD,
∴平行四边形AFCE是菱形.

21. (8分) 如图所示,在 $□ ABCD$ 中,$O$ 为边 $CD$ 的中点,连接 $AO$ 并延长,交 $BC$ 的延长线于点 $E$,连接 $DE,AC,\angle ACB = 90^{\circ}$.
(1) 求证:四边形 $ACED$ 是矩形.
(2) 若 $BC = 1,\angle B = 60^{\circ}$,则 $OC$ 的长是1.

答案： 21.
(1)证明:
∵O是边CD的中点，
∴DO=CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠ADO=∠ECO.
　　在△ADO和△ECO中，
$\begin{cases} \angle ADO = \angle ECO, \\ DO = CO, \\ \angle AOD = \angle EOC, \end{cases}$
∴△AOD≌△EOC(ASA).
∴AO=EO.
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=90°.
∴平行四边形ACED是矩形.
(2)1