《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

21. (8分)如图所示,在平面直角坐标系中,给出了格点$\triangle ABC$(顶点均在正方形网格的格点上),已知点A的坐标为$(2,3)$.
(1)画出$\triangle ABC$关于y轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$.
(2)以点O为位似中心,在给定的网格中画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$,使$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$位似,并且点$A_{2}$的坐标为$(4,-6)$.
(3)$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$与$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的相似比是$\frac{1}{2}$.

答案：
21.
(1)解:如图所示，△A₁B₁C₁即为所作.
(2)解:如图所示，△A₂B₂C₂即为所作.

(3)$\frac{1}{2}$　解析:
∵△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，C₁B₁=3,C₂B₂=6，
∴△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为$\frac{C₁B₁}{C₂B₂}=\frac{1}{2}$.

22. (8分)如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,P为$\triangle ABC$内部一点,$\angle APB=\angle BPC$,$\angle APB=\angle BPC=135^{\circ}$.求证:$\triangle PAB\backsim\triangle PBC$.

答案： 22.证明:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.
又
∵∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°.
∴∠PBC=∠PAB，
且∠APB=∠BPC=135°.
∴△PAB∽△PBC.

23. (9分)如图所示,已知四边形ABCD是菱形,E是对角线AC上一点,连接BE并延长,交AD于点F,交CD的延长线于点G,连接DE.
(1)求证:$EB^{2}=EF· EG$.
(2)若菱形ABCD的边长为4,$\angle ABC=60^{\circ}$,$AE:EC=1:3$,求BG的长.

答案：
23.
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,AB//CD.
又
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS).
∴ED=EB,∠ABE=∠ADE.
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠EGD.
∴∠EGD=∠ADE.
∵∠FED=∠DEG，
∴△EDF∽△EGD.
∴$\frac{ED}{EG}=\frac{EF}{ED}$.
∴ED²=EF·EG.
∴EB²=EF·EG.
(2)解:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC,AD//BC.
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB=4.
连接BD,交AC于点O,如图所示，则AC⊥BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴OB=$\sqrt{AB² - OA²}=2\sqrt{3}$.

∵AE:EC=1:3，
∴AE=$\frac{1}{4}$AC=1.
∴OE=OA - AE=1.
∴EB=$\sqrt{OE² + OB²}=\sqrt{13}$.
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠ECB,∠EFA=∠EBC.
∴△EAF∽△ECB.
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{EB}=\frac{1}{3}$.
∴EF=$\frac{1}{3}$EB=$\frac{\sqrt{13}}{3}$.
由
(2)得EB²=EF·EG，
∴EG=$\frac{(\sqrt{13})²}{\frac{\sqrt{13}}{3}} = 3\sqrt{13}$.
∴BG=EB+EG=4$\sqrt{13}$.