《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

12. 一个等腰三角形的底和腰是方程$(x - 3)(x - 6) = 0$的两根,则这个等腰三角形的周长是15.

答案： 12.15

13. 某种药品原价200元/瓶,经过连续两次降价后,现在仅卖98元/瓶. 现假定两次降价的百分率相同,则该种药品平均每次降价的百分率为30%.

答案： 13.$30\%$

14. 如图所示,在平行四边形$ABCD$的$AD$边上截取$AF = AB$,分别以点$B$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}BF$的长为半径画弧,两弧交于点$P$,连接$AP$,交$BC$于点$E$. 若$AB = 5$,$BF = 6$,则$AE$的长为8.

答案： 14.8

15. 如图所示,在矩形$ABCD$中,$AB = 6$,$AD = 4$,$E$为$AB$的中点,$F$为$EC$上一动点,$P$为$DF$的中点,连接$PB$,则$PB$的最小值是4.8.

答案：
15.4.8 解析：如图所示，连接DB并延长至点G，使BG=BD，连接GF，CG，设BD与CE交于点H。

$\because P$是DF的中点，B是DG的中点，
$\therefore BP$是$\triangle GDF$的中位线，$\therefore BP=\frac{1}{2}GF$。
当GF取最小值时，BP也取最小值，而$GF\perp CE$时最小。
$\because$四边形ABCD为矩形，$AB=6,AD=4$，
$\therefore AB=CD=6,BC=AD=4,AB// CD$。
$\because E$是AB的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=3$。
$\because AB// CD$，$\therefore\triangle BEH\backsim\triangle DCH$。
$\therefore\frac{EH}{CH}=\frac{BH}{DH}=\frac{BE}{DC}=\frac{1}{2}$。
$\because$在$Rt\triangle BCE$中，$CE=\sqrt{BC^{2}+BE^{2}}=5$，
$\therefore CH=\frac{2}{3}CE=\frac{10}{3}$。
$\because S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}CD· BC=12$，
$\therefore S_{\triangle BCG}=S_{\triangle BCD}=24$，$S_{\triangle BHC}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}=4$。
$\therefore S_{\triangle CGH}=S_{\triangle BCG}+S_{\triangle BHC}=16$。
$\because GF\perp CH$，
$\therefore\frac{1}{2}CH· GF=16$，解得$GF=9.6$。
$\therefore BP=\frac{1}{2}GF=4.8$，即BP的最小值为$4.8$。

16. (7分)解方程:
(1)$x^2 - 6x - 6 = 0$.
(2)$2x^2 - x - 15 = 0$.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-6x - 6 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-6x - 6 = 0$中，$a = 1$，$b=-6$，$c=-6$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×(-6)=36 + 24=60$。
再将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式：
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{15}}{2}=3\pm\sqrt{15}$。
$(2)$ 解方程$2x^{2}-x - 15 = 0$
解：对于方程$2x^{2}-x - 15 = 0$，其中$a = 2$，$b=-1$，$c=-15$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-15)=1 + 120 = 121$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{121}}{2×2}=\frac{1\pm11}{4}$。
当$x=\frac{1 + 11}{4}$时，$x = 3$；
当$x=\frac{1-11}{4}$时，$x=-\frac{5}{2}$。
综上，$(1)$的解为$x_{1}=3+\sqrt{15}$，$x_{2}=3-\sqrt{15}$；$(2)$的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=-\frac{5}{2}$。

17. (7分)如图所示,在菱形$ABCD$中,点$E$,$F$分别在$BC$,$CD$边上,$BE = DF$,连接$EA$,$FA$. 求证:$EA = FA$.

答案： 17.证明：$\because$四边形ABCD是菱形，
$\therefore AB=AD,\angle B=\angle D$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，
$\begin{cases}AB=AD, \\\angle B=\angle D, \\BE=DF,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle ADF(SAS)$。
$\therefore EA=FA$。