《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

23. (10分)为提高学生的综合素养,某校开设了四个兴趣小组(A. 健美操;B. 跳绳;C. 剪纸;D. 书法). 为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况,随机抽取了部分同学进行调查,并将调查结果绘制出下面不完整的统计图. 请结合图中的信息,解答下列问题.
(1)本次共调查了40名学生,请将条形统计图补充完整.
(2)C组所对应扇形的圆心角度数为72°.
(3)若该校共有学生1400人,则估计该校喜欢跳绳的学生有560人.
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生,其中有1名男生和3名女生. 要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛,请用列表法或画树状图法求刚好抽到1名男生与1名女生的概率.

答案：
23.
(1)40 如图所示。

(2)$72^{\circ}$
(3)560 解析：估计该校喜欢跳绳的学生有$1400×\frac{16}{40}=560$(人)。
(4)解：画树状图，如图所示。

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为1名男生与1名女生的结果有6种，
$\therefore$选出的2名学生恰好为1名男生与1名女生的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。

24. (12分)法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$的两个实数根分别为$x_1$,$x_2$,那么这两个根的关系为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1·x_2 = \frac{c}{a}$. 习惯上把这个结论称作“韦达定理”.
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$根的特征时发现,此时“韦达定理”可表述为$x_1 + x_2 = -b$,$x_1·x_2 = c$. 借此结论,小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究.
定义:
倍根方程:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$有两个实数根(都不为0),且其中一个根等于另外一个根的2倍,则称这样的方程为倍根方程.
方根方程:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$有两个实数根(都不为0),且其中一个根的平方等于另外一个根,则称这样的方程为方根方程.
(1)请你判断:方程$x^2 + 9x + 18 = 0$是倍根方程(选填“倍根方程”或“方根方程”).
(2)若一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$是“倍根方程”,求$c$的值.
(3)根据探究,小明想设计一个一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$,使这个方程既是倍根方程又是方根方程,请你先帮他算一算:这个方程的根是多少?

答案： 24.
(1)倍根方程 解析：解方程$x^{2}+9x+18=0$，得$x_{1}=-3$，$x_{2}=-6$。
$\because x_{2}=2x_{1}$，
$\therefore$方程$x^{2}+9x+18=0$是倍根方程。
(2)解：设方程$x^{2}-6x+c=0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，
$\because$一元二次方程$x^{2}-6x+c=0$是“倍根方程”，
$\therefore x_{2}=2x_{1}$。
$\because x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=c$，
$\therefore3x_{1}=6$，$2x_{1}^{2}=c$。
$\therefore x_{1}=2$，$\therefore c=8$。
(3)解：设一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$。
$\because$这个方程既是倍根方程又是方根方程，
$\therefore x_{1}=2x_{2}$，$x_{1}=x_{2}^{2}$。
$\therefore2x_{2}=x_{2}^{2}$，解得$x_{2}=2$或$x_{2}=0$(舍去)，
$\therefore x_{1}=4$。
或$x_{2}=2x_{1}$，$x_{1}=x_{2}^{2}$，
$\therefore\frac{1}{2}x_{2}=x_{2}^{2}$，解得$x_{2}=\frac{1}{2}$或$x_{2}=0$(舍去)，
$\therefore x_{1}=\frac{1}{4}$。
$\therefore$这个方程的根是$2,4$或$\frac{1}{2},\frac{1}{4}$。