《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

24. (12分)阅读感悟:
已知方程$x^2 + 2x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$,则$y = 2x$,所以$x = \frac{y}{2}$.
把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2 + 2 · \frac{y}{2} - 1 = 0$,
化简得$y^2 + 4y - 4 = 0$,
故所求方程为$y^2 + 4y - 4 = 0$.
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”.
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式).
解决问题:
(1)已知方程$x^2 - x - 3 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1,则所求方程为$y^{2}-3y-1=0$.
(2)方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0,c \neq 0,b^2 - 4ac \geq 0)$的两个根与方程$cy^{2}+by+a=0$的两个根互为倒数.
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两个实数根分别为1和$-\frac{1}{2}$,求关于$y$的一元二次方程$c(y - 2024)^2 + b(y - 4) = 2020b - a(c \neq 0)$的两个实数根.

答案： 24.
(1)$y^{2}-3y-1=0$ 解析:设所求方程的根为y，则y=x+1，
∴x=y-1.
把x=y-1代入已知方程，得$(y-1)^{2}-(y-1)-3=0$，
化简得$y^{2}-3y-1=0$.
(2)$cy^{2}+by+a=0$ 解析:设所求方程的根为y，则$y=\frac{1}{x} $，
∴$x=\frac{1}{y} $.
把$x=\frac{1}{y} $代入已知方程，
得$a(\frac{1}{y} )^{2}+b(\frac{1}{y} )+c=0$，
化简得$cy^{2}+by+a=0$.
(3)解:
∵$c(y-2024)^{2}+b(y-2024)+a=2020b-a$
(c≠0)，
∴$c(y-2024)^{2}+b(y-2024)+a=0$.
由
(2)可得，关于x的一元二次方程的根与关于y-2024的一元二次方程的根互为倒数，
∴$y-2024=\frac{1}{x} $.
∵关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$
($a≠0$)的两个实数根分别为1和$-\frac{1}{2} $，
∴关于y-2024的一元二次方程$c(y-2024)^{2}+b(y-2024)+a=0$的两个实数根分别为1和-2.
∴y-2024=1或y-2024=-2，
解得y=2025或y=2022.
∴关于y的一元二次方程$c(y-2024)^{2}+b(y-4)=2020b-a$的两个实数根分别为2025或2022.