《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

21. (8分) 如图所示, 在边长为 $ 1 $ 个单位长度的小正方形组成的网格中, 给出了格点 $ \triangle ABC $(顶点是网格线的交点).
(1) 将 $ \triangle ABC $ 先向左平移 $ 1 $ 个单位长度, 再向上平移 $ 5 $ 个单位长度, 得到 $ \triangle A_1B_1C_1 $, 请画出 $ \triangle A_1B_1C_1 $.
(2) 请在网格中将 $ \triangle ABC $ 以 $ A $ 为位似中心放大 $ 3 $ 倍, 得 $ \triangle AB_2C_2 $, 请画出 $ \triangle AB_2C_2 $.
(3) 在 (2) 的条件下, 如果点 $ A $ 的坐标为 $ (1,3) $, $ \triangle ABC $ 内部一点 $ M $ 的坐标为 $ (x,y) $, 写出 $ M $ 的对应点 $ M_1 $ 的坐标:(3x - 2,3y - 6).

答案：
21.
(1)如图所示，△A₁B₁C₁为所作.
(2)如图所示，△AB₂C₂为所作.
　　　
(3)(3x - 2,3y - 6)

22. (8分) 如图所示, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 是 $ AB $ 上一点, 且 $ AD = 1 $, $ AB = 3 $, $ AC = \sqrt{3} $. 求证: $ \triangle ACD \sim \triangle ABC $.

答案： 22.证明:
∵AD = 1,AB = 3,AC = $\sqrt{3}$,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$.
　　又
∵∠A = ∠A,
∴△ACD∽△ABC.

23. (9分) 如图所示, $ AB $ 和 $ CD $ 相交于点 $ F $, $ E $ 为 $ CF $ 上一点, 连接 $ AE $, 其中 $ \angle DAF = \angle EAC = \angle FCB $. 若 $ \frac{AD}{AB} = \frac{4}{5} $, $ AC = 10 \, cm $, 求 $ AE $ 的长.

答案： 23.解:
∵∠DAF = ∠EAC,
∴∠DAF + ∠BAE = ∠EAC + ∠BAE,
　　即∠DAE = ∠BAC.
∵∠EAC = ∠FCB,∠AED = ∠EAC + ∠ACE,∠ACB = ∠ACE + ∠FCB,
∴∠AED = ∠ACB.
∴△ADE∽△ABC.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$,AC = 10cm,
∴$\frac{AE}{10}=\frac{4}{5}$,解得AE = 8cm.