《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

16. (6分) 如图所示,在菱形 $ABCD$ 中,$BE\perp AD$ 于点 $E,DF\perp AB$ 于点 $F$. 求证:$BE = DF$.

答案： 16.证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
∵BE⊥AD于点E,DF⊥AB于点F,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
　在△ABE和△ADF中，
$\begin{cases} \angle AEB = \angle AFD, \\ \angle A = \angle A, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(AAS).
∴BE=DF.

17. (6分) 如图所示,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AD$ 边上一点,$AF\perp BE$ 于点 $F,CG\perp BE$ 于点 $G$. 求证:$AF = BG$.

答案： 17.证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABF+∠CBG=90°.
∵AF⊥BE,CG⊥BE,
∴∠AFB=∠BGC=90°.
∴∠BAF+∠ABF=90°.
∴∠BAF=∠CBG.
　　在△BAF和△CBG中，
$\begin{cases} \angle AFB = \angle BGC = 90°, \\ \angle BAF = \angle CBG, \\ AB = BC, \end{cases}$
∴△BAF≌△CBG(AAS).
∴AF=BG.

18. (6分) 如图所示,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $AB$ 边上一点,连接 $CE,DE$. 若 $CE = CD$,过点 $D$ 作 $DF\perp CE$ 于点 $F$. 求证:$CF = EB$.

答案： 18.证明:在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F，
∴AB//CD,∠B=∠DCB=90°,∠DFC=90°.
∴∠DFC=∠B,∠DCF=∠CEB=
　　90°−∠ECB.
　　在△CFD与△EBC中，
$\begin{cases} \angle DCF = \angle CEB, \\ \angle DFC = \angle B, \\ CD = CE, \end{cases}$
∴△CFD≌△EBC(AAS).
∴CF=EB.