《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

21. (9分)某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月平均增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率.
(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨0.5元/个,则月销售量将减少5个. 为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少?

答案： 21.解：
(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为$x$，
由题意得$150(1+x)^{2}=216$，
解得$x_{1}=0.2=20\%$，$x_{2}=-2.2$(不合题意，舍去)。
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为$20\%$。
(2)设该品牌头盔的实际售价为$y$元/个，由题意得$(y-30)(600-\frac{y-40}{0.5}×5)=10000$，
整理得$y^{2}-130y+4000=0$，
解得$y_{1}=80$(不合题意，舍去)，$y_{2}=50$。
答：该品牌头盔的实际售价应定为$50$元/个。

22. (10分)如图所示,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$F$是$CD$的中点,连接$OF$并延长至点$E$,使$EF = OF$,连接$CE$,$DE$.
(1)求证:四边形$DOCE$是矩形.
(2)若$OE = 4$,$\angle BAD = 60^{\circ}$,求菱形$ABCD$的面积.

答案： 22.
(1)证明：$\because F$是CD的中点，$\therefore DF=CF$。
$\because EF=OF$，
$\therefore$四边形DOCE是平行四边形。
$\because$四边形ABCD是菱形，
$\therefore AC\perp BD$，$\therefore\angle DOC=90^{\circ}$。
$\therefore$平行四边形DOCE是矩形。
(2)解：由
(1)可知四边形DOCE是矩形，
$\therefore CD=OE=4$。
$\because$四边形ABCD是菱形，
$\therefore BD=2OB$，$AC=2OC$，$AC\perp BD$，$BC=CD=4$，$\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}$，$\angle BCO=\frac{1}{2}\angle BCD=30^{\circ}$。
$\therefore OB=\frac{1}{2}BC=2$。
$\therefore BD=2OB=4$，$OC=\sqrt{BC^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$。
$\therefore AC=2OC=4\sqrt{3}$。
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。