《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. 万唯原创 赵爽在《勾股圆方图注》中提出一个命题“已知长方形的面积与长宽和，求长和宽”. 设长方形的面积为 $ A $，长宽和为 $ k $，赵爽的解法是：如图，构造一个边长为 $ k $ 的正方形，再在其中构造面积均为 $ A $ 的四个全等的长方形，若长方形的一边长为 $ x $，则列出方程 $ x(k - x) = A $ 求解. 根据图中的面积关系，可得代数式 $ \sqrt{k^{2} - 4A} $ 表示的几何量为(D)

A.长
B.宽
C.长宽和
D.长宽差

答案： 1. D

2. 万唯原创 对于题目：“如图①，将 $ AB = 4 $，$ BC = 4\sqrt{3} $ 的矩形纸片 $ ABCD $ 沿对角线 $ AC $ 折叠，点 $ B $ 的对应点为 $ B' $，$ B'C $ 交 $ AD $ 于点 $ E $，剪下 $ \triangle AEC $. 如图②，点 $ P $，$ Q $ 分别是线段 $ AE $，$ CE $ 上的点，点 $ G $，$ H $ 为 $ AC $ 边上两点，沿四边形 $ GPOH $ 裁剪并展开，要使展开图是长宽比为 $ \sqrt{3}:1 $ 的矩形，求此矩形的面积.”对于其答案，甲答：矩形面积为 $ \frac{16\sqrt{3}}{3} $，乙答：矩形面积为 $ 4\sqrt{3} $，丙答：矩形面积为 $ \frac{16\sqrt{3}}{5} $. 则下列选项说法正确的是(C)

A.只有甲答的对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整

答案： 2. C

3. 万唯原创 规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为偶数的点称为“偶点”，如图，已知点 $ A(8,8) $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的上方，过点 $ A $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线，与双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 交于点 $ B $，$ C $，当由线段 $ AB $、曲线 $ BC $、线段 $ CA $ 围成的封闭区域内(不含边界)“偶点”的个数为 $ 4 $ 个时，所有符合条件的 $ k $ 的整数值的和为54.

答案： 3. 54

4. （武老师快答 App·答疑高频试题 $ ^{336.6} $）（2025 黑白卷）如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ AD = 3\sqrt{3} $，点 $ O $ 在边 $ AD $ 上，以 $ OD $ 为半径的 $ \odot O $ 与 $ AC $ 相切于点 $ K $. 点 $ M $ 是边 $ AB $ 上的点（不与点 $ A $，$ B $ 重合），过点 $ M $ 作 $ MN // AC $ 交 $ BC $ 于点 $ N $，$ \triangle MNP $ 与 $ \triangle MNB $ 关于直线 $ MN $ 对称.
(1) 求 $ OD $ 的长；
(2) 当点 $ P $ 落在 $ \odot O $ 上时，求 $ BM $ 的长，并求 $ \triangle MNP $ 与 $ \odot O $ 重叠部分的面积（包括边界）；
(3) 设 $ \triangle MNP $ 与矩形 $ ABCD $ 重叠部分的面积为 $ y $，$ BM $ 的长度为 $ m $.
① 用含 $ m $ 的式子表示 $ y $；
② 若 $ NP $ 与 $ \odot O $ 相切，求 $ y $ 的值.

答案：
4. 解：
(1)如解图①，连接OK,OC.
∵在矩形ABCD中，∠ADC = 90°，
AB = CD = 3，AD = 3√3，
∴AC = 6，∠DAC = 30°，
∴∠ACD = ∠BAC = 60°.
∵⊙O与AC相切于点K，OK为⊙O的半径，
∴OK⊥AC，
∴∠ODC = ∠OKC = 90°.
∵OC = OC，OD = OK，
∴Rt△ODC≌Rt△OKC(HL)，
∴∠OCD = ∠OCK = 30°，
∴OD = CD·tan30° = 3×√3/3 = √3;

(2)如解图②，当点P落在AD上时，PN交⊙O于点G，连接OG.
∵MN//AC，
∴∠BMN = ∠BAC = 60°.
由折叠可知∠PMN = ∠BMN = 60°，
∴∠AMP = 180° - ∠PMN - ∠BMN = 60°，
∴∠APM = 90° - 60° = 30°，
∴AM = 1/2MP = 1/2MB = 1/2(AB - AM)，即AM = 1/2(3 - AM)，
解得AM = 1，
∴BM = 2，AP = √3，
由
(1)可得⊙O的直径为2√3.
∵AP + 2√3 = 3√3 = AD，
∴当点P落在AD上时，点P恰好落在⊙O上.
∵∠OPG = 180° - ∠MPN - ∠APM = 180° - 90° - 30° = 60°，OP = OG，
∴△PGO是等边三角形，
∴∠POG = 60°，
∴S扇形POG = 60π×(√3)²/360 = π/2，
S△POG = 1/2×√3×√3×sin60° = 3√3/4，
∴△MNP与⊙O重叠部分的面积为π/2 - 3√3/4;

(3)①如解图③，当△MNP与矩形ABCD重叠部分为△MNP时，由题意得S△MNP = S△BMN，
在Rt△BMN中，tan∠MNB = tan30° = MB/NB = m/NB = √3/3，
∴NB = √3m，
∴y = S△PMN = S△BMN = 1/2MB·BN = 1/2m×√3m = √3/2m²;

如解图④，当△MNP与矩形ABCD重叠部分为四边形MRSN时，设PM,PN分别与AD交于点R,S，易得BM = m，AM = 3 - m，RM = 2AM = 6 - 2m，PR = PM - MR = m - (6 - 2m) = 3m - 6.
∵∠ARM = ∠PRS = 30°，
∴PS = PR·tan30° = (3m - 6)×√3/3 = √3(m - 2)，
∴S△PRS = 1/2PR·PS = 1/2(3m - 6)·√3(m - 2) = 3√3/2(m - 2)².
∵S△PMN = √3/2m²，
∴y = S△PMN - S△PRS = √3/2m² - 3√3/2(m - 2)²，
即y = -√3m² + 6√3m - 6√3.
综上所述，当0 ＜ m ≤ 2时，y = √3/2m²;
当2 ＜ m ＜ 3时，y = -√3m² + 6√3m - 6√3;

②如解图⑤，当NP与⊙O相切于点T时，连接OT，延长NP交AD于点Q，过点N作NH⊥AD，垂足为H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC//AD，∠BAD = ∠ABC = 90°，
∴∠DQN = ∠BNQ = 60°.
∵OT = √3，
∴OQ = 2，
∴DQ = √3 + 2.
∵四边形CDHN是矩形，
∴HN = DC = 3，DH = NC = 3√3 - √3m，
∴QH = DQ - DH = √3 + 2 - (3√3 - √3m) = 2 - 2√3 + √3m.
在Rt△NHQ中，NH = √3QH，即3 = √3(2 - 2√3 + √3m)，
解得m = 3 - 2√3/3.
∵0 ＜ 3 - 2√3/3 ＜ 2，
∴y = √3/2m² = √3/2×(3 - 2√3/3)² = 31√3/6 - 6，
∴NP与⊙O相切时，y的值为31√3/6 - 6.