《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

4. （8分）某数学兴趣小组计划测量一个5G通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高$AB$.如图，他们在坡底$C$处测得塔顶$A$的仰角为$45^{\circ}$，沿坡比为$1:2.4$的斜坡$CD$前行26m到达$E$处，在$E$处测得塔顶$A$的仰角为$20^{\circ}$.已知$AB\perp BC$，图中所有点在同一平面内，求该5G通讯塔的高$AB$.（结果取整数.参考数据：$\sin20^{\circ}\approx0.34$，$\cos20^{\circ}\approx0.94$，$\tan20^{\circ}\approx0.36$）

答案： 4. 该5G通讯塔的高AB约为29m.

5. （8分）已知抛物线$y = x^{2} + bx + c$与$x$轴交于$A(1,0)$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），$AB = 2$.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）将点$M(m,3)$向右平移2个单位长度得到点$N$，连接$MN$，若线段$MN$与抛物线仅有一个交点，求$m$的取值范围.

答案： 5. 解：
(1)该抛物线的函数解析式为$y=x^2 -4x+3；$
(2)由
(1)可知，AB=2，抛物线开口向上，
∴抛物线在x轴上方关于对称轴对称的两点间的距离大于2.
∵点M(m,3)向右平移2个单位长度得到点N，
∴线段MN与抛物线最多有一个交点，N(m+2,3).
在抛物线$y=x^2 -4x+3$中，当y=3时，解得$x_1=0,x_2=4，$
当线段MN在抛物线对称轴左侧与抛物线有交点时，
此时m+2≥0且m≤0，
即-2≤m≤0；
当线段MN在抛物线对称轴右侧与抛物线有交点时，
此时m≤4且m+2≥4，
即2≤m≤4，
综上所述，m的取值范围为-2≤m≤0或2≤m≤4.