《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

4. (8分)万唯原创 某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人,为了解它们的运动性能,该科技兴趣小组设计了5min定时跑测试.已知甲、乙同时出发,甲全程在它的“标准模式”下运动,乙开始时在“基础模式”下运动,1min后出现故障,此时运动距离为20m,经过1min紧急调试,乙恢复正常并切换到“全速模式”,已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍,甲、乙两个机器人运动的路程y₁,y₂(m)与测试时间x(min)之间的函数关系如图所示,请结合图象回答下列问题:
(1)求出线段OA和线段CE的解析式;
(2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇.

答案： 解:
(1)设线段$OA$的解析式为$y_1=k_1x$,
将点$A(5,150)$的坐标代入,得$150=5k_1$,解得$k_1=30$,
$\therefore$线段$OA$的解析式为$y_1=30x$;
$\because$“基础模式”下乙机器人运动$1\ min$的距离为$20\ m$,
$\therefore$“基础模式”速度为$20\ m/min$.
$\because$“全速模式”的速度是“基础模式”速度的$3$倍,
$\therefore$“全速模式”的速度为$20×3=60(m/min)$,
$\therefore$这$5\ min$乙机器人运动的距离为$20+(5 - 2)×60=200(m)$,
$\therefore E(5,200)$.
设线段$CE$的解析式为$y_2=k_2x+b$,
将点$C(2,20),E(5,200)$的坐标代入,得$\begin{cases}20=2k_2+b\\200=5k_2+b\end{cases}$,
解得$\begin{cases}k_2=60\\b=-100\end{cases}$,
$\therefore$线段$CE$的解析式为$y_2=60x - 100$;
(2)由题图可知,点$D$处表示两机器人相遇,
则令$30x=60x - 100$,解得$x=\frac{10}{3}$,
$\therefore$甲、乙两个机器人在$\frac{10}{3}min$时相遇.

5. (8分)万唯原创 如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,点E在⊙O上,$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$,连接BE交AC于点F,连接AE.
(1)求证:BC=BF;
(2)若EF=2,BC=6,求⊙O的半径.

答案：

(1)证明略;
(2)解:如解图,连接$OD$交$BE$于点$G$.
$\because BD=DE$,
$\therefore OG\perp BE,EG=GB$.
$\because EF=2,BC=6$,
$\therefore EB=EF+FB=EF+BC=8$,
$\therefore EG=GB=4$,
$\therefore FG=EF=2$.
在$\triangle AEF$和$\triangle DGF$中,
$\begin{cases}\angle E=\angle DGF\\EF=GF\\\angle EFA=\angle GFD\end{cases}$
$\therefore \triangle AEF\cong\triangle DGF(ASA)$,
$\therefore AE=DG$.
易得$OG$为$\triangle ABE$的中位线,
$\therefore AE=2OG$,
设$OG=x$,
则$AE=DG=2x$,
$\therefore OB=OD=3x$.
在$Rt\triangle OGB$中,
由勾股定理,得$OG^2+GB^2=OB^2$,
即$x^2+4^2=(3x)^2$,
解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去),
$\therefore OB=3x=3\sqrt{2}$,
即$\odot O$的半径为$3\sqrt{2}$.