《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

4. (8分)小鹏为测试一个滑轮组的省力情况，进行了一系列测试，并将得到的拉力$F(N)$和悬挂物体的重力$G(N)$的一些数据记录如下表：

(1)请你描述拉力$F(N)$随所悬挂物体的重力$G(N)$的变化规律，并用函数解析式表示$F$与$G$的关系；
(2)请计算当物体的重力$G$为$7N$时，用该滑轮组拉物体，可省多少力？

答案： 解：
(1)由表格数据可知，拉力F(N)随所悬挂物体的重力G(N)的增加而增加；重力G每增加1N，拉力F相应增加0.2N，
∴拉力F(N)和所悬挂物体的重力G(N)之间是一次函数关系.
设拉力F与所悬挂物体重力G之间的函数解析式为F=kG+b (k≠0)，
把点(0,0.5)，(1,0.7)的坐标代入解析式，
得$\begin{cases}b=0.5\\k+b=0.7\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=0.5\\k=0.2\end{cases}$，
∴拉力F与所悬挂物体重力G的函数解析式为F=0.2G+0.5 (G≥0)；
(2)当G=7时，F=0.2×7+0.5=1.9，
∵7 - 1.9 = 5.1(N)，
∴当物体的重力G为7N时，用该滑轮组拉物体，可省5.1N的力.

5. (8分)(2025定心卷)如图是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形$ABCD$，点$D$落在底座$GH$上(底座厚度忽略不计)，起钉时$\angle CDH = 15^{\circ}$。已知$AD = AN = 2cm$，$MN = 12cm$，$\angle MND = 135^{\circ}$，且$N$，$A$，$D$三点共线。
(1)求起钉时$\angle NDG$的度数；
(2)求起钉时点$M$到底座$GH$的距离。(结果保留到小数点后一位。参考数据：$\sin 15^{\circ}$取$0.26$，$\cos 15^{\circ}$取$0.97$)

答案：
解：
(1)∠NDG=75°；
(2)如解图，过点M作ME⊥GH于点E，过点N分别作NQ⊥ME于点Q，NF⊥GH于点F，
∴∠DNF=90° - ∠NDG=90° - 75°=15°.
∵N，A，D三点共线，AD=AN=2(cm)，
∴ND=AD+AN=4(cm)，
∴在Rt△DNF中，NF=ND·cos15°≈4×0.97=3.88(cm).
∵∠MND=135°，
∴∠MNQ=135° - 90° - 15°=30°.
∵MN=12(cm)，
∴在Rt△MNQ中，MQ=MN·sin30°=6(cm)，
∴ME=MQ+QE=MQ+NF=6+3.88≈9.9(cm).
答：起钉时点M到底座GH的距离约为9.9cm.