《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

4. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，以$AB$为直径作$\odot O$，交$BC$于点$D$，$DE$是$\odot O$的切线且交$AC$于点$E$，延长$CA$交$\odot O$于点$F$.
(1)求证：$DE \perp AC$；
(2)若$\sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$DE = 3$，求$EF$的长.

答案： 1. （1）证明：
连接$OD$，$AD$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，即$AD\perp BC$。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$BD = CD$。
因为$OA = OB$，所以$OD$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理，$OD// AC$。
因为$DE$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp DE$。
又因为$OD// AC$，所以$DE\perp AC$。
2. （2）解：
$∵AB=AC$
$∴∠C=∠B$
$∵∠F=∠B$
$∴∠F=∠C$
$∴sinC=sinF=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$∵DE⊥AC$
$∴sinF=\frac{DE}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$∵DE=3$
$∴FD=3\sqrt{5}$
$∴EF=\sqrt{FD²-DE²}=6$

5. (8分)如图，在平面直角坐标系中，点$A(-1,0)$，$B(0,3)$在抛物线$y = -x^2 + bx + c$上，该抛物线的顶点为$C$.点$P$为该抛物线上一点，其横坐标为$m$.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当$BP \perp y$轴时，求$\triangle BCP$的面积.

答案： 5.
(1)该抛物线的解析式为$y = -x^2 + 2x + 3；$$ (2)\triangle BCP$的面积为1.