《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

4. (8分)如图,已知四边形$ABCD$为正方形,点$E$在$BC$边上,连接$AE$.
(1)尺规作图:过点$B$作$BF\perp AE$于点$H$,交$CD$于点$F$(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,嘉琪说:$AE=BF$.请判断她的说法是否正确,并说明理由.

答案：
解：
(1)如解图，BF即为所求；

(2)她的说法正确，理由略。

5. (8分)某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”,利用课后时间积极地进行备赛训练.如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表$1m$长,小明从$(0,2)$处将篮球投出,篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线$C:y=a(x-2.5)^{2}+3.25$的一部分,篮筐距小明水平距离为$3.8m$,篮筐中心到地面的距离为$3.05m$.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)小明投出球后,小刚在小明与篮筐之间跳起防守,已知小刚最高能摸到$2.45m$,则在球上升的过程中,小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球?
(3)已知小明在距篮筐水平距离$3.8m$的位置,在只改变起跳高度的情况下,通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中?

答案： 解：
(1)抛物线的函数解析式为$y = -0.2(x - 2.5)^2 + 3.25；$
(2)令y = 2.45，则$2.45 = -0.2(x - 2.5)^2 + 3.25，$
解得$x_1 = 4.5，$$x_2 = 0.5。$
∵要在球上升的过程中截住篮球，
∴x = 0.5，
∴在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5m以内才能在空中截住篮球；
(3)改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变，
∴设改变起跳高度后的抛物线解析式为$y = -0.2(x - 2.5)^2 + 3.25 + k。$
∵小明距篮筐水平距离为3.8m，篮筐中心到地面的距离为3.05m，
将点(3.8,3.05)的坐标代入，
得$3.05 = -0.2×(3.8 - 2.5)^2 + 3.25 + k，$
解得k = 0.138，
∴小明要竖直起跳0.138m才能直接投中。