《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

3. (8分)(2025定心卷)某公司销售部由销售1部和销售2部组成,且两个部门各有4个组,员工的总人数也相同.
信息1:销售1部各组员工人数及每人所创年利润如下表.

信息2:销售2部各组员工每人所创年利润扇形统计图(不完整)和条形统计图(部分数据被涂抹)如下:
(1)求$m$的值;
(2)求销售1部员工所创年利润的中位数和众数;
(3)总公司决定给予所创年平均利润最高的部门发放一等奖,另一部门发放二等奖,通过计算判断哪个部门获得一等奖?

答案： 3. 解：
(1)$m = 7$;
(2)销售$1$部所创年利润从多到少为:$2$个$9$万元,$5$个$6$万元,$6$个$4$万元,$7$个$2$万元,
其中第$10$,$11$个数据都为$4$万元,
$\therefore$销售$1$部员工每人所创年利润的中位数为$4$万元,
$\because 2$万元出现的次数最多,故众数为$2$万元;
(3)销售$1$部每人所创年平均利润为$\overline{x}=\frac{7 × 2 + 2 × 9 + 6 × 4 + 5 × 6}{20}=$
$4.3$(万元),
销售$2$部每人所创年平均利润为$3$万元的人数为$20 × 25\% = 5$(人),
所创年利润为$4$万元的人数为$20 - 7 - 2 - 5 = 6$(人),
$\therefore$销售$2$部所创年平均利润为$\overline{x}=\frac{2 × 8 + 7 × 6 + 6 × 4 + 5 × 3}{20}=4.85$(万元).
$\because 4.3＜4.85$,
$\therefore$销售$2$部将获得一等奖.

4. (8分)万唯原创 如图是某公园的滑梯示意图,$AB$为台阶,$CH$为滑道,立柱$BE,CF$长度相等,且垂直于地面$AD$,已知$AB$与地面$AD$的夹角为$40^{\circ}$,滑道$CH$由一段平行于地面的滑道$CG$、坡度为$1:1.5$的滑道$DG$和与地面重合的滑道$DH$组成,若$AE = 2.5m,CG = DH = 0.5m$,求滑道底部点$H$与立柱$CF$之间的距离.(参考数据:$\sin40^{\circ}\approx0.64,\cos40^{\circ}\approx0.77,\tan40^{\circ}\approx0.84$)

答案： 滑道底部点$H$与立柱$CF$之间距离约为$4.15$ $m$.

5. (8分)将小球(看作一点)从距离地面3m高的点$A$处向右发射,建立如图所示的平面直角坐标系,小球沿抛物线$y = -\frac{1}{4}x^{2}+bx + c$运动.
(1)若当小球运动的水平距离为1m时,小球达到最大高度.
①求小球达到的最大高度;
②当小球前方无障碍物时,求小球落地时的水平距离;
(2)若小球的正前方4m($OC = 4m$)处有一个截面为矩形的球筐$CDEF$,其中长$CD$为2m,宽$DE$为1m,若要使小球落入筐中,求$b$的取值范围.

答案： 解：
(1)①小球达到的最大高度为$\frac{13}{4}$ $m$;
②当$y = 0$时,$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 3 = 0$,
解得$x_{1}=1 + \sqrt{13}$,$x_{2}=1 - \sqrt{13}$(不符合题意,舍去),
答:小球落地时的水平距离为$(1 + \sqrt{13})$ $m$;
(2)根据题意得,点$F(4,1)$,$E(6,1)$.
$\because c = 3$,
$\therefore y = -\frac{1}{4}x^{2}+bx + 3$,
$\therefore$当抛物线过点$F(4,1)$时,得$-\frac{1}{4} × 4^{2}+4b + 3 = 1$,
解得$b = \frac{1}{2}$;
当抛物线过点$E(6,1)$时,得$-\frac{1}{4} × 6^{2}+6b + 3 = 1$,解得$b = \frac{7}{6}$,
$\therefore$要使小球落入筐中,$b$的取值范围是$\frac{1}{2}＜b＜\frac{7}{6}$.