《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

17. (8分)万唯原创 随着科学技术的飞速发展,智能机器人逐渐进入越来越多的领域和岗位,更好服务于人们的生活.某餐厅利用智能机器人上菜,如图,这是该餐厅智能机器人充电装置的示意图.甲、乙两个智能机器人随机从①②③④中选择一个接口充电,且同一个接口只能同时为一个智能机器人充电.
(1)求智能机器人甲从①②③④中选择④接口充电的概率;
(2)请用列表或画树状图的方法,求甲、乙两个智能机器人同时选择奇数接口充电的概率.

答案：
17.
(1)智能机器人甲选择④接口充电的概率为$\frac{1}{4}$;
(2)画树状图如下:

∵总共的情况有12种,满足条件的有2种
∴甲、乙两个智能机器人同时选择奇数接口充电的概率为$\frac{1}{6}$.

18. (8分)(2025黑白卷)图①是一款可旋转的太阳能路灯,太阳能光伏板面向太阳,且随太阳的升起到落下方向旋转,图②是其侧面示意图,线段$AB$表示路灯的灯支架,$PM$为路灯灯杆,线段$CD$为太阳能光伏板,可绕点$P$旋转,$CD = 1m$,$AB = 2m$,$\angle BAM = 120^{\circ}$.(图中所有点均在同一平面)(参考数据:$\sin 80^{\circ} \approx 0.98$,$\cos 80^{\circ} \approx 0.17$,$\tan 80^{\circ} \approx 5.67$,$\sqrt{3} \approx 1.73$.结果精确到$0.1m$)
(1)当$C$,$D$,$B$三点共线时,$\angle DPM = 80^{\circ}$,求$PA$的长度;
(2)若某一时刻太阳光线与地面$l$的夹角为$60^{\circ}$时,恰好太阳能光伏板$CD$与$PM$所成夹角$\angle DPM = 60^{\circ}$,求太阳能光伏板$CD$落在地面$l$上的影子$EF$的长.

答案：
18.解：
(1)当$C,D,B$三点共线时，如解图①，过点$B$作$BG\perp PM$于点$G$，连接$BD$.
$\because \angle BAM = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle BAG = 180^{\circ}-\angle BAM = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABG$中，$BG = AB·\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx1.73(m)$，$AG = AB·\cos60^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1(m)$.
在$Rt\triangle PBG$中，$PG=\frac{BG}{\tan80^{\circ}}=\frac{1.73}{\tan80^{\circ}}$，
$\therefore PA = PG + AG=\frac{1.73}{\tan80^{\circ}}+1\approx1.3(m)$;
(2)如解图②，设$DF$交$PM$于点$N$，过点$C$作$CH//$直线$l$交$DF$所在直线于点$H$，则四边形$CHFE$为平行四边形，
$\therefore CH = EF$，
由题意，得$\angle HFM = 60^{\circ}$，
$PM\perp$直线$l$，
$\therefore \angle DNP = \angle FNM = 30^{\circ}$.
$\because \angle DPM = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle PDN = 180^{\circ}-\angle DNP - \angle DPN = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDH = 90^{\circ}$.
$\because CH//$直线$l$，
$\therefore \angle H = \angle HFM = 60^{\circ}$，
在$Rt\triangle CDH$中，$CH = \frac{CD}{\sin H}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx1.2(m)$，
$\therefore EF = CH = 1.2(m)$，
答：太阳能光伏板$CD$落在地面$l$上的影子$EF$的长约为$1.2m$.