《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. (8分)有一个数学游戏:甲、乙两人手上各拿三张数字卡片,老师手上拿四张运算符号卡片,如图所示,游戏规则如下:
第一步:甲出一张数字卡片;
第二步:老师出一张运算符号卡片;
第三步:乙出一张数字卡片,
第四步:按出卡片顺序进行列式计算.
若计算结果为正数,则甲获胜,否则乙获胜(每张卡片只能用一次).
(1)第一轮甲、乙分别出$-3,\frac{1}{2}$,老师出÷,求第一轮的计算结果,并判断谁获胜;
(2)在(1)的基础上,第二轮要使甲一定获胜,求甲出的卡片上的数字,并说明理由.

答案： 解：
(1)$-3 ÷ \frac{1}{2}=-3 × 2=-6$,
$\because -6＜0$,
$\therefore$乙获胜;
(2)甲出的卡片上的数字为$5$,
理由：当甲出的卡片上的数字为$5$时,
$5 + 4 = 9＞0$,$5 - 4 = 1＞0$,$5 × 4 = 20＞0$,
$5 + 1 = 6＞0$,$5 - 1 = 4＞0$,$5 × 1 = 5＞0$,
计算结果均为正数,
$\therefore$甲获胜;
当甲出的卡片上的数字为$-\frac{1}{3}$时,
$\because -\frac{1}{3} × 4 = -\frac{4}{3}＜0$,
$\therefore$乙获胜,
$\therefore$第二轮要使甲一定获胜,甲出的卡片上的数字为$5$.

2. 新考法 注重过程性学习
(8分)(2025黑白卷)下面是嘉嘉和淇淇进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
嘉嘉:$\frac{x^{2}-4x+4}{x+2}÷(1-\frac{4}{x+2})$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}÷1-\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}÷\frac{4}{x + 2}$ ………… 第一步
$=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}-\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}·\frac{x + 2}{4}$ ………… 第二步
$=\frac{4(x - 2)^{2}}{4(x + 2)}-\frac{(x - 2)^{2}(x + 2)}{4(x + 2)}$ ………… 第三步
$=\frac{(x - 2)^{2}[4 - (x + 2)]}{4(x + 2)}$ …
$=\frac{(x - 2)^{2}(2 - x)}{4(x + 2)}$ ………… 第五步
$=\frac{(2 - x)^{3}}{4(x + 2)}$. …… 第六步
淇淇:$\frac{x^{2}-4x+4}{x+2}÷(1-\frac{4}{x+2})$
$=\frac{x^{2}-4x+4}{x+2}÷(\frac{x + 2}{x + 2}-\frac{4}{x + 2})$ …… 第一步
$=\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}÷\frac{x - 2}{x + 2}$ ………… 第二步
$=\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}·\frac{x + 2}{x - 2}$ ………… 第三步
$=x + 2$. …… 第四步
(1)以上化简步骤中,嘉嘉的过程第一步开始出现错误,错误的原因是除法没有分配律;淇淇的过程第二步开始出现错误,错误的原因是完全平方公式用错;
(2)请写出该分式正确的化简过程.

答案： 解：
(1)一;除法没有分配律;二;完全平方公式用错;
(2)$\frac{x^{2}-4x + 4}{x + 2} ÷ (1-\frac{4}{x + 2})$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2} ÷ (\frac{x + 2}{x + 2}-\frac{4}{x + 2})$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2} ÷ \frac{x + 2 - 4}{x + 2}$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2} ÷ \frac{x - 2}{x + 2}$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2} × \frac{x + 2}{x - 2}$
$=x - 2$.