《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

17. 新考法 开放性试题 (8 分)下面是小明同学解不等式的过程,请认真阅读并完成相应任务.
$\frac{4x - 1}{6} - x ＜ \frac{3}{2}$.
解:$4x - 1 - x ＜ - 9$, ………………………………………………… 第一步
$4x - x ＜ - 9 + 1$, ………………………………………………… 第二步
$3x ＜ - 8$, ………………………………………………… 第三步
$x ＜ - \frac{8}{3}$. ………………………………………………… 第四步
(1)以上解题过程中,从第一步开始出错,请写出正确的解题过程;
(2)请你写出一个不等式,与$\frac{4x - 1}{6} - x ＜ - \frac{3}{2}$联立,使该不等式组的解集为$4 ＜ x \leq 7$.

答案： $(1)$ 分析错误步骤并写出正确解题过程
- 步骤一：分析错误
小明在第一步去分母时出错，给不等式$\frac{4x - 1}{6}-x\lt-\frac{3}{2}$两边同时乘以$6$，根据不等式性质，不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变，应该是$4x - 1-6x\lt - 9$，而不是$4x - 1 - x\lt - 9$。
- 步骤二：正确解题过程
解：去分母，得$4x - 1-6x\lt - 9$。
移项，得$4x-6x\lt - 9 + 1$。
合并同类项，得$-2x\lt - 8$。
系数化为$1$，得$x\gt4$。
$(2)$ 写出满足条件的不等式
因为不等式组的解集为$4\lt x\leqslant7$，已知其中一个不等式的解为$x\gt4$，所以可写不等式$x - 7\leqslant0$（答案不唯一）。
综上，答案依次为：$(1)$ 一；去分母，得$4x - 1-6x\lt - 9$，移项，得$4x-6x\lt - 9 + 1$，合并同类项，得$-2x\lt - 8$，系数化为$1$，得$x\gt4$；$(2)$$x - 7\leqslant0$（答案不唯一）。

18. (8 分)(2025 黑白卷)如图①,一面墙上竖直装有一扇窗,在窗子上部向外安装一侧面为弧形的可伸缩遮阳篷. 其侧面示意图可近似看为图②(在点 B 处安装),点 N 表示窗户上沿,弓形阴影部分表示遮阳篷的截面,AP 是一段可以伸缩的弧. 当遮阳篷完全张开时,P 为遮阳篷$\overset{\frown}{AB}$的中点,$AB \perp MN$,且$AB = 2$ m,A,B,P,N 四点恰好同在一圆上,$∠ANB = 60^{\circ}$.
(1)当遮阳篷完全张开时,求遮阳篷的截面(阴影部分)的面积;
(2)当遮阳篷从点 A 沿$\overset{\frown}{AB}$收缩到点$A'$时,$∠BNA' = 45^{\circ}$,求点 A 收缩到点$A'$时线段$AA'$的长.

答案：
18. 解：
(1)如解图①,设O为AN的中点,连接BO,连接PO交AB于点Q.
∵AB⊥MN,A,B,P,N四点恰好在同一圆上,
∴AN为⊙O的直径.
∵AB = 2,∠ANB = 60°,
∴AN = $\frac{AB}{sin∠ANB}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$,NB = $\frac{AB}{tan∠ANB}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴OB = ON = $\frac{1}{2}$AN = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
又
∵∠ANB = 60°,
∴∠AOB = 120°.
∵P为$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴OP⊥AB,BQ = AQ,
∴OQ是△ABN的中位线,
∴OQ = $\frac{1}{2}$BN = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴S扇形AOB = $\frac{120 × \pi × (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}{360}$ = $\frac{4\pi}{9}$,S△AOB = $\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴遮阳篷的截面(阴影部分)的面积为($\frac{4\pi}{9}$ - $\frac{\sqrt{3}}{3}$)m²;

(2)如解图②,记O为AN的中点,连接AA',A'N,A'N交AB于点K.
由
(1)得NB = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$,AN为⊙O的直径,
∴∠AA'K = 90°.
在Rt△BNK中,∠KNB = 45°,
∴BK = BN = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$,∠BNK = ∠BKN = 45°,
∴AK = AB - BK = $\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}$
∵∠AKA' = ∠BKN = 45°,
∴AA' = AK·sin 45° = $\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}$ × $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = ($\sqrt{2}$ - $\frac{\sqrt{6}}{3}$)m.