《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. (8分)(2025黑白卷)如图,甲、乙两人输入相同的x值,分别按两条运算程序依次计算,所得结果大者胜出.
(1)当甲得到的计算结果为10时,求x的值以及乙的计算结果;
(2)若甲胜出,求x的取值范围.
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答案：
(1)$x=-3$,乙的计算结果为$-\frac{1}{4}$;
(2)$x＜-\frac{10}{17}$

2. (8分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=4,BD⊥AC于点D,E是AB边上一点,BE=BC,过点E作EF⊥AB,交BD延长线于点F,连接AF.
(1)求证:△ABC≌△FEB;
(2)若tan∠AFE=$\frac{1}{3}$,求AE的长.

答案： 1. （1）证明$\triangle ABC\cong\triangle FEB$：
因为$BD\perp AC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle ADB=\angle ABC = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和定理，在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中，$\angle A+\angle C=\angle A+\angle ABD = 90^{\circ}$，所以$\angle C=\angle ABD$。
又因为$EF\perp AB$，所以$\angle FEB=\angle ABC = 90^{\circ}$。
已知$BE = BC$，在$\triangle ABC$和$\triangle FEB$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle ABC=\angle FEB\\BC = BE\\\angle C=\angle ABD\end{array}\right.$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle FEB$。
2. （2）求$AE$的长：
由（1）知$\triangle ABC\cong\triangle FEB$，所以$AB = EF$。
因为$\tan\angle AFE=\frac{1}{3}$，在$Rt\triangle AEF$中，$\tan\angle AFE=\frac{AE}{EF}$。
设$AE = x$，则$EF = AB$，因为$BE = BC = 4$，所以$EF=AB=x + 4$。
又因为$\tan\angle AFE=\frac{AE}{EF}=\frac{x}{x + 4}=\frac{1}{3}$。
交叉相乘得：$3x=x + 4$。
移项得：$3x-x = 4$，即$2x = 4$。
解得$x = 2$。
所以（1）已证$\triangle ABC\cong\triangle FEB$；（2）$AE$的长为$2$。

3. (8分)(2025黑白卷)如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于点D;
(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,过点D作BC的平行线交AB于点E,若E为AB的中点,求证:BD⊥AC.

答案：

(1)解:如解图,BD即为所求作;

(2)证明略.