《2026年万唯中考试题研究数学河北专版》

1. (8分) 已知四个有理数A,B,C,D,其中A,C两数在数轴上的位置如图,若$\frac{A - C}{2} = B$.
(1)求B的值；
(2)若$A×C = B×D$,求D的值.

答案： 1.
(1)B的值为$-\frac {9}{2}$;
(2)D的值为4.

2. 下面是小亮同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:$2(x + 3)(x - 3) + (2x - 1)^2 - x(1 - 6x)$
$= 2(x^2 - 9) + 4x^2 - 4x + 1 - (x - 6x^2)$……第一步
$= 2x^2 - 18 + 4x^2 - 4x + 1 - x - 6x^2$……第二步
$= - 5x - 17$. ………………………………第三步
(1)任务一:第一步化简所用的乘法公式是:平方差公式，完全平方公式；
(2)任务二:小亮的化简过程从第二步开始出错,出错的原因是括号前是“-”号，去掉括号时未将括号内的第二项变号；
(3)任务三:请写出正确的化简过程,并求出当$x = - 1$时该整式的值.

答案： 2.解:
(1)平方差公式，完全平方公式;
(2)二;
括号前是“-”号，去掉括号时未将括号内的第二项变号;
(3)1. 首先进行正确化简：
解：$2(x + 3)(x - 3)+(2x - 1)^{2}-x(1 - 6x)$
第一步：根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$（这里$a = x$，$b = 3$）和完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$（这里$a = 2x$，$b = 1$），可得$2(x^{2}-9)+4x^{2}-4x + 1-(x - 6x^{2})$。
第二步：去括号，根据去括号法则$a-(b - c)=a - b + c$，则$2x^{2}-18+4x^{2}-4x + 1 - x+6x^{2}$。
第三步：合并同类项，$(2x^{2}+4x^{2}+6x^{2})+(-4x - x)+(-18 + 1)$，即$12x^{2}-5x-17$。
2. 然后求当$x=-1$时整式的值：
把$x = - 1$代入$12x^{2}-5x-17$，根据代入法$y = ax^{2}+bx + c$，当$x=-1$时，$y=a×(-1)^{2}+b×(-1)+c=a - b + c$。
这里$a = 12$，$b=-5$，$c=-17$，则$12×(-1)^{2}-5×(-1)-17$。
先计算乘方：$12×1-5×(-1)-17$。
再计算乘法：$12 + 5-17$。
最后计算加减：$17 - 17=0$。
所以，正确化简结果为$12x^{2}-5x - 17$，当$x=-1$时，整式的值为$0$。

3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,D为BC上一点,$DE⊥AB$于点E,连接AD.
(1)请从①$AC = AE$;②AD平分$∠BAC$中任选一个条件,证明:$△ACD ≌ △AED$(任选一种即可)；
(2)在(1)的条件下,若$AC = 4,BC = 3$,求CD的长.

答案： 3.解:
(1)当选择条件①时，
证明:
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\begin{cases} AD = AD, \\ AC = AE, \end{cases}$
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
当选择条件②时，
证明:
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90°，
在△ACD和△AED中，
$\begin{cases} ∠C = ∠AED, \\ ∠CAD = ∠EAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴△ACD≌△AED(AAS);(答案不唯一，任选一个条件即可)
(2)由
(1)得，△ACD≌△AED，
∴AC=AE,CD=ED.
在Rt△ABC中，
∵AC=4,BC=3，
∴AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}$=5，
∴BE=AB-AE=1，
设CD=DE=x,则BD=3-x，
在Rt△BDE中，
∵$BE^2 + DE^2 = BD^2$，
∴$1^2 + x^2 = (3 - x)^2$，解得x=$\frac {4}{3}$，
∴CD=$\frac {4}{3}$.