《2025年状元成才路创优作业七年级数学上册北师大版》

1. 已知点$O在直线AB$上,$\angle COD$是直角,$OE平分\angle BOC$。
(1)如图①,若$\angle AOC = 48^{\circ}$,求$\angle DOE$的度数；
(2)将图①中的$\angle COD绕顶点O$顺时针旋转至图②的位置,试探究$\angle DOE和\angle AOC$度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由；
(3)180°-$\frac{1}{2}$α将图①中的$\angle COD绕顶点O$逆时针旋转至图③的位置,其他条件不变,若$\angle AOC= \alpha$,则$\angle DOE$的度数为______(用含$\alpha$的代数式表示),不必说明理由。

答案： 1.解:
(1)因为 O 是直线 AB 上一点，∠AOC=48°，
所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-48°=132°。
因为 OE 平分∠BOC，所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=66°。
因为∠COD 是直角，所以∠DOE=90°-∠COE=24°。
(2)∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC。理由如下：
因为 O 是直线 AB 上一点，所以∠BOC=180°-∠AOC。
因为 OE 平分∠BOC，所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC。
因为∠COD 是直角，
所以∠DOE=90°-∠COE=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$(180°-∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOC。所以∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC。
(3)180°-$\frac{1}{2}$α 【解析】因为 O 是直线 AB 上一点，所以∠BOC=180°-∠AOC。因为∠AOC=α，所以∠BOC=180°-α。因为 OE 平分∠BOC，所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC。因为∠COD 是直角，所以∠DOE=90°+∠COE=90°+$\frac{1}{2}$∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$(180°-α)=180°-$\frac{1}{2}$α。

2. 如图①,点$C在线段AB$上,图中共有$3$条线段：线段$AB$,$AC和BC$。若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的$2$倍,则称点$C是线段AB$的“二倍点”。

【理解运用】
(1)一条线段的中点______(填“是”或“不是”)这条线段的“二倍点”。
【深入探究】
(2)如图②,数轴上点$A表示-10$,点$B表示20$。已知点$M从点B$处出发,以每秒$3个单位长度的速度向点A$运动,当点$M到达点A$时停止运动。若运动的时间为$t$s。
①$BM= $______,$AM= $______；(均用含$t$的代数式表示)
②当$t$为何值时,点$M是线段AB$的“二倍点”？
(1)是
(2)①3t 30-3t
②根据题意，得 AB=30。
当 AM=2BM 时，BM=$\frac{1}{3}$AB=10，则 3t=10，所以 t=$\frac{10}{3}$；
当 AB=2BM 时，BM=$\frac{1}{2}$AB=15，则 3t=15，所以 t=5；
当 BM=2AM 时，BM=$\frac{2}{3}$AB=20，则 3t=20，所以 t=$\frac{20}{3}$。
综上所述，当 t 为$\frac{10}{3}$或 5 或$\frac{20}{3}$时，点 M 是线段 AB 的“二倍点”。

答案： 2.解:
(1)是
(2)①3t 30-3t
②根据题意，得 AB=30。
当 AM=2BM 时，BM=$\frac{1}{3}$AB=10，则 3t=10，所以 t=$\frac{10}{3}$；
当 AB=2BM 时，BM=$\frac{1}{2}$AB=15，则 3t=15，所以 t=5；
当 BM=2AM 时，BM=$\frac{2}{3}$AB=20，则 3t=20，所以 t=$\frac{20}{3}$。
综上所述，当 t 为$\frac{10}{3}$或 5 或$\frac{20}{3}$时，点 M 是线段 AB 的“二倍点”。