《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2024广东广州期末,较难]在数轴上,点A在原点的左侧,点B在原点的右侧,点A距离原点12个单位长度,点B距离原点2个单位长度.
(1)点A对应的数为-12,点B对应的数为2,两点之间的距离为14；
(2)若点P为数轴上一点,且BP= 2,求AP的长；
(3)若点N,Q,M同时向数轴负方向运动,点N从点A出发,点Q从原点出发,点M从点B出发,且点N的运动速度是每秒6个单位长度,点Q的运动速度是每秒8个单位长度,点M的运动速度是每秒2个单位长度.运动过程中,当其中一个点与另外两个点的距离相等时,求这时三个点对应的数各是多少.

(2)分两种情况:①当点P在点B的右侧时,$AP=AB+BP=14+2=16$;②当点P在点B的左侧时,$AP=AB-BP=14-2=12$.综上,AP的长是16或12.
(3)设运动的时间为t秒,则动点N,Q,M对应的数分别为$-12-6t$,$-8t$,$2-2t$.分三种情况:①当$NQ=QM$时,$-8t-(-12-6t)=2-2t-(-8t)$,所以$t=\frac{5}{4}$,此时,点N对应的数为$-12-6×\frac{5}{4}=-19.5$,点Q对应的数为$-8×\frac{5}{4}=-10$,点M对应的数为$2-2×\frac{5}{4}=-0.5$.
②当$NQ=NM$时,$-12-6t-(-8t)=2-2t-(-12-6t)$,所以$t=-13$(舍去).
③当$MN=MQ$时,$(2-2t)-(-12-6t)=(2-2t)-(-8t)$,解得$t=6$,此时N点对应的数为$-12-6×6=-48$,Q点对应的数为$-8×6=-48$,M点对应的数为$2-2×6=-10$.
综上,N点对应的数为-19.5,Q点对应的数为-10,M点对应的数为-0.5或N点对应的数为-48,Q点对应的数为-48,M点对应的数为-10.

答案： 1.【解】
(1)因为点A在原点的左侧,距离原点12个单位长度,所以点A对应的数为-12,同理可得点B对应的数为2,所以A,B两点之间的距离为2-(-12)=2+12=14,故答案为-12,2,14.
(2)分两种情况:①当点P在点B的右侧时,$AP=AB+BP=14+2=16$;②当点P在点B的左侧时,$AP=AB-BP=14-2=12$.综上,AP的长是16或12.
(3)设运动的时间为t秒,则动点N,Q,M对应的数分别为$-12-6t$,$-8t$,$2-2t$.分三种情况:①当$NQ=QM$时,$-8t-(-12-6t)=2-2t-(-8t)$,所以$t=\frac{5}{4}$,此时,点N对应的数为$-12-6×\frac{5}{4}=-19.5$,点Q对应的数为$-8×\frac{5}{4}=-10$,点M对应的数为$2-2×\frac{5}{4}=-0.5$.
②当$NQ=NM$时,$-12-6t-(-8t)=2-2t-(-12-6t)$,所以$t=-13$(舍去).
③当$MN=MQ$时,$(2-2t)-(-12-6t)=(2-2t)-(-8t)$,解得$t=6$,此时N点对应的数为$-12-6×6=-48$,Q点对应的数为$-8×6=-48$,M点对应的数为$2-2×6=-10$.
综上,N点对应的数为-19.5,Q点对应的数为-10,M点对应的数为-0.5或N点对应的数为-48,Q点对应的数为-48,M点对应的数为-10.

2 [2024河南洛阳期末,中]数轴体现了数形结合的数学思想,若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离表示为AB= |a - b|.如:点A表示的数为2,点B表示的数为3,则AB= |2 - 3|= 1.
(1)问题提出:填空:如图,数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为13,A,B两点之间的距离AB= 15,线段AB的中点表示的数为$\frac{11}{2}$。

(2)拓展探究:在(1)的条件下,若点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动.设运动时间为t秒(t＞0).
①用含t的式子表示:t秒后,点P表示的数为$-2+3t$,点Q表示的数为$13-2t$；
②求当t为何值时,P,Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
根据题意得$-2+3t=13-2t$,解得$t=3$,相遇点所表示的数为$-2+3×3=7$.所以当t为3时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数是7.
(3)类比延伸:在(2)的条件下,如果P,Q两点相遇后按照原来的速度继续运动,当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向,并以原来的速度在线段AB上做往复运动,那么当P,Q两点第二次相遇时,请写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数.
由已知得点P运动5秒到达点B,点Q运动$\frac{15}{2}$秒到达点A,返回途中,点P表示的数是$13-3(t-5)$,点Q表示的数是$-2+2(t-\frac{15}{2})$.易知在点Q从点A返回点B前,P,Q不可能第二次相遇.根据题意得$13-3(t-5)=-2+2(t-\frac{15}{2})$,解得$t=9$,第二次相遇点所表示的数为$13-3×(9-5)=1$.所以P,Q两点第二次相遇所需要的时间为9秒,相遇点所表示的数是1.

答案： 2.【解】
(1)因为点A表示的数为-2,点B表示的数为13,所以$AB=|13-(-2)|=15$,线段AB的中点表示的数为$\frac{13-2}{2}=\frac{11}{2}$,故答案为15,$\frac{11}{2}$.
(2)①t秒后,点P表示的数为$-2+3t$,点Q表示的数为$13-2t$.故答案为$-2+3t$,$13-2t$.
②根据题意得$-2+3t=13-2t$,解得$t=3$,相遇点所表示的数为$-2+3×3=7$.所以当t为3时,P,Q两点相遇,相遇点所表示的数是7.
(3)由已知得点P运动5秒到达点B,点Q运动$\frac{15}{2}$秒到达点A,返回途中,点P表示的数是$13-3(t-5)$,点Q表示的数是$-2+2(t-\frac{15}{2})$.易知在点Q从点A返回点B前,P,Q不可能第二次相遇.根据题意得$13-3(t-5)=-2+2(t-\frac{15}{2})$,解得$t=9$,第二次相遇点所表示的数为$13-3×(9-5)=1$.所以P,Q两点第二次相遇所需要的时间为9秒,相遇点所表示的数是1.

3 [2024安徽安庆质检,较难]如图,已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4,动点P从A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点R从B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,R同时出发,则点P运动5秒时,追上点R.

答案： 5 【解析】设点P运动x秒时,在点C处追上点R,则$AC=6x$,$BC=4x$.因为$AC-BC=AB=10$,所以$6x-4x=10$,解得$x=5$,所以点P运动5秒时,追上点R.