《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2025重庆沙坪坝区期末,较难]已知整式M：$a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+... +a_{0}$,其中$a_{5}$是正整数,$a_{4},a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是自然数,$a_{5}+a_{0}= p,a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}= q$. 下列说法：①若$p = 1,q = 0$,则满足条件的整式M有且仅有1个；②若$p = q = 2$,则满足条件的整式M中有6个五次四项式；③若$p = 3,q = 1$,则满足条件的整式M共有12个. 其中正确的个数是(D)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D　[解析]因为a₅是正整数，a₄,a₃,a₂,a₁,a₀是自然数，a₅ + a₀ = p = 1，所以a₅ = 1，a₀ = 0.
因为a₄ + a₃ + a₂ + a₁ = q = 0，所以a₄ = a₃ = a₂ = a₁ = 0，所以整式M只有1个，为x⁵，故①正确；因为p = q = 2，所以a₅ + a₀ = p = 2，a₄ + a₃ + a₂ + a₁ = q = 2.因为要满足整式M是五次四项式，所以a₅ = a₀ = 1，a₄,a₃,a₂,a₁中有两个为1，其余为0，所以M = x⁵ + x⁴ + x³ + 1或M = x⁵ + x⁴ + x² + 1或M = x⁵ + x⁴ + x + 1或M = x⁵ + x³ + x² + 1或M = x⁵ + x³ + x + 1或M = x⁵ + x² + x + 1，共6 个，故②正确；因为p = 3，q = 1，所以a₅ + a₀ = p = 3，a₄ + a₃ + a₂ + a₁ = q = 1.当a₅ = 3，a₀ = 0，a₄,a₃,a₂,a₁中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M有4个；当a₅ = 2，a₀ = 1，a₄,a₃,a₂,a₁中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M有4个；当a₅ = 1，a₀ = 2，a₄,a₃,a₂,a₁中有一个为1，其余为0时，满足条件的整式M有4个，所以满足条件的整式M共有12 个，故③正确.综上可知，正确的个数是3，故选D.

2 [中]观察下列单项式：$x^{2},3x^{3},5x^{4},7x^{5},...,37x^{20},39x^{21},...$,则第2025个单项式是4049x²⁰²⁶.

答案： 4049x²⁰²⁶　[解析]由题意可知各单项式系数是1,3,5,7,…,2n−1(n为正整数)，次数是2,3,4,5,…,n + 1，所以第2025个单项式的系数是2×2025−1 = 4049，次数是2025 + 1 = 2026，故第2025个单项式是4049x²⁰²⁶.

3 [2025河北保定质检,中]已知关于x,y的多项式$x^{2}-8+\frac {1}{5}xy-3xy^{2}+kxy$.
(1)它是三次多项式；
(2)若多项式中不含xy项,则$\frac {2 + k}{1 - 2k}= $$\frac{9}{7}$.

答案：
(1)三　
(2)$\frac{9}{7}$　[解析]
(1)因为关于x,y的多项式x²−8 + $\frac{1}{5}$xy−3xy² + kxy的最高次项的次数是三，所以这个多项式是三次多项式，故答案为三.
(2)x²−8 + $\frac{1}{5}$xy−3xy² + kxy = x²−8−3xy² + ($\frac{1}{5}$ + k)xy，因为多项式中不含xy项，所以$\frac{1}{5}$ + k = 0，解得k = −$\frac{1}{5}$，所以$\frac{2 + k}{1 - 2k}$ = $\frac{2-\frac{1}{5}}{1-2×(-\frac{1}{5})}$ = $\frac{9}{7}$.故答案为$\frac{9}{7}$.

4 [2025陕西渭南期中,中]已知关于x,y的多项式$xy^{3}-3x^{4}+x^{2}y^{m + 2}-5mn$是五次四项式(m,n为有理数),且单项式$5x^{4 - m}y^{n - 3}$的次数与该多项式的次数相同,求m,n的值.

答案： [解]因为关于x,y的多项式xy³−3x⁴ + x²yᵐ⁺²−5mn是五次四项式，所以2 + m + 2 = 5，−5mn≠0，所以m = 1，n≠0.因为单项式5x⁴⁻ᵐyⁿ⁻³的次数与该多项式的次数相同，所以单项式5x⁴⁻ᵐyⁿ⁻³的次数为五，所以4−m + n−3 = 5，所以4−1 + n−3 = 5，所以n = 5.

5 [中]已知整式$(a - 1)x^{3}-2x-(a + 3)$.
(1)若它是关于x的一次式,求a的值并写出常数项；
(2)若它是关于x的三次二项式,求a的值并写出最高次项.

答案： [解]
(1)由题意得a−1 = 0，所以a = 1，所以常数项为−4.
(2)由题意得−(a + 3) = 0且a≠1，所以a = −3，所以最高次项为−4x³.

6 [2025河南安阳期末,中]有一种整式处理器,能将二次多项式处理成一次多项式,处理方法是将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数,将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项. 例如：$M = 2x^{2}+3x + 5$,M经过处理器得到$N = (2 + 3)x + 5 = 5x + 5$.
根据以上方法,解决下列问题：
(1)若关于x的二次多项式M经过处理器得到N,$M = -x^{2}-6x + 2$,求N.
(2)已知$M = 3x - 2(m - 3)x^{2}+m$,M是关于x的二次多项式,若N是M经过处理器得到的一次多项式,且满足$N = kx - 3$,求k的值.

答案： [解]
(1)因为M = −x²−6x + 2，
所以N = [−1+(−6)]x + 2 = −7x + 2.
(2)因为M = 3x−2(m−3)x² + m，M是关于x的二次多项式，所以−2(m−3)≠0，所以m≠3.
因为N是M经过处理器得到的一次多项式，且N = kx−3，
所以m = −3，
所以k = −2(m−3)+3 = −2×(−3−3)+3 = 15.

7 [中]定义：$f(a,b)$是关于a,b的多项式,如果$f(a,b)= f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”. 例如,若$f(a,b)= a^{2}+a + b + b^{2}$,则$f(b,a)= b^{2}+b + a + a^{2}$,所以$f(a,b)= a^{2}+a + b + b^{2}$是“对称多项式”.
(1)$f(a,b)= a^{2}-2ab + b^{2}$是“对称多项式”吗？试说明理由.
(2)请写一个“对称多项式”,$f(a,b)= $____$a + b$(不多于四项).
(3)如果$f_{1}(a,b)和f_{2}(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)$一定是“对称多项式”吗？如果一定是,请说明理由；如果不一定是,请举例说明.

答案：
(1)[解]是.理由:因为f(b,a)=b²−2ba + a²，所以f(a,b)=f(b,a)，故f(a,b)=a²−2ab + b²是“对称多项式”
(2)a + b(答案不唯一)
(3)[解]不一定是.举例如下:当f₁(a,b)= a + b，f₂(a,b)= −a−b时，两者都是“对称多项式”，而f₁(a,b)+f₂(a,b)= 0是单项式，不是多项式.(举例不唯一)