《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [中]有这么一个数字游戏：
第一步：取一个自然数 $ n_{1} = 8 $,计算 $ n_{1}^{2}+1 $ 得 $ a_{1} $；
第二步：算出 $ a_{1} $ 的各位数字之和,得 $ n_{2} $,计算 $ n_{2}^{2}+1 $ 得 $ a_{2} $；
第三步：算出 $ a_{2} $ 的各位数字之和,得 $ n_{3} $,再计算 $ n_{3}^{2}+1 $ 得 $ a_{3}…… $
依次类推,则 $ a_{2021} = $ (122)
A.$ 8 $
B.$ 65 $
C.$ 122 $
D.$ 26 $

答案： C 【解析】$n_{1}=8,a_{1}=n_{1}^{2}+1=65$;$n_{2}=6+5=11$,$a_{2}=n_{2}^{2}+1=122$;$n_{3}=1+2+2=5$,$a_{3}=n_{3}^{2}+1=26$;$n_{4}=2+6=8$,$a_{4}=n_{4}^{2}+1=65$;$n_{5}=6+5=11$,$a_{5}=n_{5}^{2}+1=122$;… 由此规律可知,运算结果每三个循环一次. 因为 2021÷3=673……2,所以$a_{2021}=a_{2}=122$.

2 [2025 云南曲靖质检,中]数学知识广泛应用于化学领域,是研究化学的重要工具. 在学习醇类化学式时,甲醇的化学式为 $ {CH_{3}OH} $,乙醇的化学式为 $ {C_{2}H_{5}OH} $,丙醇的化学式为 $ {C_{3}H_{7}OH} $,…$$,按此规律,当碳原子(C)的数目为 $ n $($ n $ 为正整数)时,这种醇类的化学式是 (B)
A.$ {C_{n}H_{3n}OH} $
B.$ {C_{n}H_{2n+1}OH} $
C.$ {C_{n}H_{2n}OH} $
D.$ {C_{n}H_{2n-1}OH} $

答案： B 【解析】当碳原子(C)的数目为 n(n 为正整数)时,设氢原子(H)的数目为$a_{n}$. 观察可发现规律:$a_{1}=3=2×1+1$,$a_{2}=5=2×2+1$,$a_{3}=7=2×3+1$,…,所以$a_{n}=2n+1$. 所以当碳原子(C)的数目为 n(n 为正整数)时,这种醇类的化学式为$C_{n}H_{2n+1}OH$. 故选 B.

3 [2025 湖南张家界期中,中]如图是一组有规律的图案,第 1 个图案中有 4 个基本图形,第 2 个图案中有 7 个基本图形,第 3 个图案中有 10 个基本图形,…$$,按这样的规律排列下去,第 8 个图案中基本图形的个数为 (C)

A.$ 19 $
B.$ 22 $
C.$ 25 $
D.$ 28 $

答案： C 【解析】由题可知,第1个图案由1+3=4(个)基本图形组成,第2个图案由$1+3×2=7$(个)基本图形组成,第3个图案由$1+3×3=10$(个)基本图形组成,第4个图案由$1+3×4=13$(个)基本图形组成,所以第n个图案由$(3n+1)$个基本图形组成,所以第8个图案中基本图形的个数为$3×8+1=25$,故选 C.

4 [2024 湖南怀化期中,中]如图,给正五边形的顶点依次编号为 1,2,3,4,5,若从某一个顶点开始,沿正五边形的边按顺时针方向行走,顶点编号的数字是几,就走几个边长,则称这种走法为一次“移位”,如：小明在编号为 2 的顶点处时,那么他应走 2 个边长,即从 $ 2 \to 3 \to 4 $ 为第 1 次“移位”,这时他到达编号为 4 的顶点,接下来他应走 4 个边长,即从 $ 4 \to 5 \to 1 \to 2 \to 3 $ 为第 2 次“移位”. 若小明从编号为 1 的顶点开始,则第 2 022 次“移位”后,他所处顶点的编号为4.

答案： 4 【解析】根据题意,小明从编号为1的顶点开始,第1次"移位"到达编号为2的顶点处,第2次"移位"到达编号为4的顶点处,第3次"移位"到达编号为3的顶点处,第4次"移位"到达编号为1的顶点处,第5次"移位"到达编号为2的顶点处,…,以此类推,4次移位后回到出发点. 因为2022÷4=505……2,所以第2022次"移位"后,他所处顶点的编号与第2次"移位"到达的顶点的编号相同,为4.

5 [2025 山东临沂期中,中]如图(1)是 2024 年 11 月份的日历表,小明在其中画出一个 $ 3 × 3 $ 的方框(粗线框),框住九个数,计算其中位置如图(2)所示的四个数“$ (a + d)-(b + c) $”的值,探索其运算结果的规律.
(1) 初步分析：计算图(1)中 $ (5 + 21)-(7 + 19) $ 的结果为0.
(2) 深入思考：小明将 $ 3 × 3 $ 的方框移动到图(1)中的其他位置,通过计算可以求出 $ (a + d)-(b + c) $ 的值. 探索(1)中运算的规律,其过程如下,请你将过程补充完整.
设 $ a = x $,则 $ b = $$x+2$,$ c = $$x+14$,$ d = $$x+16$,
所以 $ (a + d)-(b + c) = $0.(填写化简后的结果)
(3) 拓展探究：同学们利用小明的方法,借助图(1)中的日历,继续进行如下探究.
在日历中用“Y 型框”框住位置如图(3)所示的四个数,探究“$ (m + q)-(n + p) $”的值的规律,写出你的结论,并说明理由.

$(m+q)-(n+p)=5$.理由如下:设$m=y$,则$n=y+2$,$p=y+8$,$q=y+15$,所以$(m+q)-(n+p)=(y+y+15)-(y+2+y+8)=(2y+15)-(2y+10)=2y+15-2y-10=5$.

答案： 【解】
(1)$(5+21)-(7+19)=26-26=0$.故答案为0.
(2)过程如下:设$a=x$,则$b=x+2$,$c=x+14$,$d=x+16$,所以$(a+d)-(b+c)=(x+x+16)-(x+2+x+14)=2x+16-2x-16=0$.故答案为$x+2$,$x+14$,$x+16$,0.
(3)$(m+q)-(n+p)=5$.理由如下:设$m=y$,则$n=y+2$,$p=y+8$,$q=y+15$,所以$(m+q)-(n+p)=(y+y+15)-(y+2+y+8)=(2y+15)-(2y+10)=2y+15-2y-10=5$.