《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [中]已知$M = 4x^{2} - 3x + 1$,$N = 5x^{2} - 3x + 3$,则$M与N$的大小关系为(B)
A.$M ＞ N$
B.$M ＜ N$
C.$M = N$
D.无法确定

答案： B 【解析】$M - N=(4x^2 - 3x + 1)-(5x^2 - 3x + 3)=4x^2 - 3x + 1 - 5x^2 + 3x - 3=-x^2 - 2$.因为$x^2\geq0$,所以$-x^2 - 2＜0$,所以$M ＜ N$,故选 B.

2 [2024 湖南张家界期末,中]对于一个三位数$\overline{xyz}$,对调百位与个位上的数字,得到一个新的三位数,则新三位数与原数的差能被质数3 和 11整除。

答案： 3 和 11 【解析】由题意得$\overline{zyx}-\overline{xyz}=(100z + 10y + x)-(100x + 10y + z)=100z + 10y + x - 100x - 10y - z=99z - 99x=99(z - x)$.因为$99 = 3×3×11$,所以新三位数与原数的差能被质数 3 和 11 整除.

3 [中]阅读下面材料：
计算：$1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100$。一个一个顺次相加显然太繁杂,我们仔细观察这个式子的特点,发现运用加法的运算律,可简化计算,提高计算速度。$1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101×50 = 5050$。
根据阅读材料提供的方法计算：$a + (a - m) + (a - 2m) + (a - 3m) + … + (a - 100m) = $$101a - 5050m$。

答案： $101a - 5050m$ 【解析】$a+(a - m)+(a - 2m)+\cdots+(a - 100m)=101a-(m + 2m + 3m+\cdots+100m)=101a-[(m + 100m)+(2m + 99m)+(3m + 98m)+\cdots+(50m + 51m)]=101a - 101m×50=101a - 5050m$.故答案为$101a - 5050m$.

4 [2025 浙江诸暨期中,中]若关于$x$,$y的多项式(7mxy - 0.75y^{3}) - 2(2x^{2}y + 3xy)$化简后不含二次项,则$m$的值为$\frac{6}{7}$。

答案： $\frac{6}{7}$ 【解析】$(7mxy - 0.75y^3)-2(2x^2y + 3xy)=7mxy - 0.75y^3 - 4x^2y - 6xy=-0.75y^3+(7m - 6)xy - 4x^2y$.因为化简后不含二次项,所以$7m - 6 = 0$,解得$m=\frac{6}{7}$.

5 新考法 [2025 湖南衡阳期中,中]学习代数式求值时,遇到这样一类题：“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值。”通常的解题方法是把$x$,$y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项,即原式$ = (a + 3)x - 6y + 5$,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x项的系数为0$,所以$a + 3 = 0$,则$a = -3$。
(1)若关于$x的多项式(2x - 3)m + 2m^{2} - 3x的值与x$的取值无关,求$m$的值；
(2)已知$A = (2x^{2} - x - 1) - (x - 3xy)$,$B = -x^{2} + xy - 1$,且$3A + 6B的值与x$的取值无关,求$y$的值；
(3)$7$个如图(1)的小长方形(长为$a$,宽为$b$)按照图(2)的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为$S_{1}$,左下角的面积为$S_{2}$,当$AB$的长变化时,$S_{1} - S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$的数量关系。

答案： 【解】
(1)$(2x - 3)m + 2m^2 - 3x=2mx - 3m + 2m^2 - 3x=(2m - 3)x + 2m^2 - 3m$.因为其值与 $x$ 的取值无关,所以$2m - 3 = 0$,所以$m=\frac{3}{2}$.
(2)由题意,得$3A + 6B=3[(2x^2 - x - 1)-(x - 3xy)]+6(-x^2 + xy - 1)=3(5y - 2)-9$.因为$3A + 6B$的值与 $x$ 的取值无关,所以$5y - 2 = 0$,所以$y=\frac{2}{5}$.
(3)设$AB = x$,由题图可知$S_1=a(x - 3b)$, $S_2=2b(x - 2a)$,所以$S_1 - S_2=a(x - 3b)-2b(x - 2a)=(a - 2b)x + ab$.因为当 $AB$ 的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,所以$S_1 - S_2$的值与 $x$ 的取值无关,所以$a - 2b = 0$,所以$a = 2b$.

6 核心素养运算能力 [2025 山东德州齐河期中,较难]有这样一道题：“如果代数式$5a + 3b的值为-4$,那么代数式$2(a + b) + 4(2a + b)$的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式$ = 2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b = 2(5a + 3b)$,把$5a + 3b$看成一个整体,把式子$5a + 3b = -4$代入,得原式$ = 2×(-4) = -8$。
请仿照上面的解题方法,解答下面的问题：
【简单应用】
(1)已知$a^{2} - 2a = 1$,则$2a^{2} - 4a + 1 = $3。
(2)已知$m + n = 2$,$mn = -4$,求$2(mn - 3m) - 3(2n - mn)$的值。
【拓展提高】
(3)已知$a^{2} + 2ab = -5$,$ab - 2b^{2} = -3$,求代数式$3a^{2} + 4ab + 4b^{2}$的值。
(2)当$m + n = 2$, $mn=-4$时,$2(mn - 3m)-3(2n - mn)=2mn - 6m - 6n + 3mn=5mn - 6(m + n)=5×(-4)-6×2=-32$.(3)原式$=3a^2 + 4ab + 2ab - 2ab + 4b^2=3(a^2 + 2ab)-2(ab - 2b^2)$,将$a^2 + 2ab=-5$, $ab - 2b^2=-3$代入,得原式$=3×(-5)-2×(-3)=-9$.

答案： 【解】
(1)当$a^2 - 2a = 1$时,$2a^2 - 4a + 1=2(a^2 - 2a)+1=2×1 + 1=3$.故答案为 3.
(2)当$m + n = 2$, $mn=-4$时,$2(mn - 3m)-3(2n - mn)=2mn - 6m - 6n + 3mn=5mn - 6(m + n)=5×(-4)-6×2=-32$.
(3)原式$=3a^2 + 4ab + 2ab - 2ab + 4b^2=3(a^2 + 2ab)-2(ab - 2b^2)$,将$a^2 + 2ab=-5$, $ab - 2b^2=-3$代入,得原式$=3×(-5)-2×(-3)=-9$.