《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2025 重庆沙坪坝区期中,中]已知关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}2x + y = 3k + 2,\\4x - 3y = -k + 5,\end{cases} $ 若 $ x - 2y = 1 $,则 $ k $ 的值为(A)
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$-\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$

答案： 1.A 【解析】{2x+y=3k+2,①4x-3y=-k+5,② ②-①,得2x-4y=-4k+3,所以x-2y=-4k+3/2.因为x-2y=1,所以-4k+3/2=1,解得k=1/4.故选A.

[2025 四川资阳期末,中]已知关于 $ a,b $ 的方程组 $\begin{cases}a - b = 6,\\2a + b = m\end{cases} $ 中,$ a,b $ 互为相反数,则 $ m= $ 3.

答案： 2.3 【解析】由题意得{a-b=6,①a+b=0,② ①+②,得2a=6,解得a=3.把a=3代入①,得3-b=6,解得b=-3.把a=3,b=-3代入方程2a+b=m,得2×3+(-3)=m,解得m=3.故答案为3.

3 [2025 四川眉山期中,中]已知关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}x - 2y = -1,\\x + 2y = n\end{cases} $ 和 $\begin{cases}x + y = m,\\x - y = 2\end{cases} $ 的解相同,则 $ 2m + n= $ 27.

答案： 3.27 【解析】由题意得{x-2y=-1,x-y=2, 解得{x=5,y=3, 所以m=5+3=8,n=5+2×3=11,所以2m+n=2×8+11=27,故答案为27.

4 [2025 湖北黄冈质检,中]已知关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = 7,\\mx + ny = 5\end{cases} $ 和方程组 $\begin{cases}5x - 2y = 8,\\\dfrac{nx}{3} + my = 3\end{cases} $ 的解相同.
(1) 求 $ m,n $ 的值.
(2) 求 $ 3m - 2mn + m^2 - 1 $ 的值.

答案： 4.【解】
(1)根据题意得{2x+3y=7,①5x-2y=8,② ①×2+②×3,得19x=38,解得x=2.把x=2.代入①,得4+3y=7,解得y=1.把{x=2,y=1 代入{mx+ny=5,nx/3+my=3, 得{2m+n=5,2/3n+m=3, 解得{m=1,n=3.
(2)把{m=1,n=3 代入3m-2mn+m²-1,得原式=3-2×3+1-1=3-6+1-1=-3.

5 [2025 河南南阳调研,中]甲、乙两人在解关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}4x - by = -1,\\ax + by = 5\end{cases} $ 时,甲因看错 $ a $,解得 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3;\end{cases} $ 乙将其中一个方程的 $ b $ 写成了其相反数,解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = -1,\end{cases} $ 则 $ a + b $ 的值为5.

答案： 5.5 【解析】甲因看错a,解得{x=2,y=3, 则{x=2,y=3 是方程4x-by=-1的解,所以8-3b=-1,即b=3,则第一个方程为4x-3y=-1.因为乙将其中一个方程的b写成了其相反数,解得{x=1,y=-1, 且4×1+3×(-1)=1≠-1,所以乙是将第二个方程中的b写成了其相反数,即为ax-by=5.把{x=1,y=-1 代入ax-by=5,得a+b=5.故答案为5.

6 [2025 四川自贡期中,中]解关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + by = 6,\\cx - 4y = -2\end{cases} $ 时,小强正确解得 $\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases} $ 而小刚看错了 $ c $,解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2.\end{cases} $
(1) 求 $ c $ 的值；
(2) 求 $ a,b $ 的值.

答案： 6.【解】
(1)把{x=2,y=1 代入方程组{ax+by=6,cx-4y=-2, 得{2a+b=6,2c-4=-2, 所以c=1.
(2){ax+by=6,①cx-4y=-2,② 把{x=1,y=2 代入①得a+2b=6,即a=6-2b.③把③代入2a+b=6,得12-4b+b=6,解得b=2.把b=2代入③,得a=2,则a的值为2,b的值为2.

7 [2025 山东潍坊期中,中]若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + ay = 5,\\y - x = 1\end{cases} $ 有正整数解,则正整数 $ a= $ 1或2.

答案： 7.1或2 【解析】方程组{x+ay=5,y-x=1, 两式相加得(1+a)y=6.因为a,y均为正整数,所以a的值可能为5或2或1.当a=5时,y=1,此时x=0,不符合题意,舍去;当a=2时,y=2,此时x=1,符合题意;当a=1时,y=3,此时x=2,符合题意.所以a=1或2.故答案为1或2.

8 [2025 湖南长沙调研,较难]若关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases}mx - 2y = 9,\\3x - 2y = 5\end{cases} $ 的解为整数,则满足条件的所有整数 $ m $ 的和为6.

答案： 8.6 【解析】{mx-2y=9,①3x-2y=5,② ①-②得(m-3)x=4,所以x=4/m-3.因为x为整数,所以m-3=±1或±2或±4,当m-3=1时,m=4,x=4,把x=4代入②,得3×4-2y=5,解得y=7/2(舍去);当m-3=-1时,m=2,x=-4,把x=-4代入②,得3×(-4)-2y=5,解得y=-17/2(舍去);当m-3=2时,m=5,x=2,把x=2代入②,得3×2-2y=5,解得y=1/2(舍去);当m-3=-2时,m=1,x=-2,把x=-2代入②,得3×(-2)-2y=5,解得y=-11/2(舍去);当m-3=4时,m=7,x=1,把x=1代入②,得3×1-2y=5,解得y=-1;当m-3=-4时,m=-1,x=-1,把x=-1代入②,得3×(-1)-2y=5,解得y=-4.综上所述,当m=7或-1时,方程组{mx-2y=9,3x-2y=5 的解是整数,所以满足条件的所有整数m的和为7+(-1)=7-1=6.故答案为6.