《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2024 湖南株洲调研,中]小林在某商店购买商品 A、B 共三次,只有其中一次购买时,商品 A、B 同时打折,其余两次均按标价购买,三次购买商品 A、B 的数量和费用如表所示.

(1)在这三次购买中,第三次购买打了折扣；
(2)求出商品 A、B 的标价；
(3)若商品 A、B 的折扣相同,则商店是打几折出售这两种商品的？

答案： 【解】
(1)由表格数据易知小林第三次购买商品 A、B 打了折扣.
故答案为三.
(2)设商品 A 的标价为 x 元，商品 B 的标价
为 y 元. 根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 6x+5y=1140,\\ 3x+7y=1110,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} x=90,\\ y=120.\end{array}\right. $
答：商品 A 的标价为 90 元，商品 B 的标价
为 120 元.
(3)设商店是打 a 折出售这两种商品的.
由题意得$(9×90+8×120)×\frac {a}{10}=1062,$
解得$a=6.$
答：商店是打 6 折出售这两种商品的.

2 [2024 湖南娄底质检,中]用如图(1)中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图(2)的竖式和横式两种无盖纸盒,现在仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板.
(1)根据题意完成下面的表格.

(2)问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完？

答案： 【解】
(1)填表如下：
x个竖式纸盒中 y个横式纸盒中 合计
正方形纸板的张数 x 2y 1000
长方形纸板的张数 4x 3y 2000
(2)根据题意得$\left\{\begin{array}{l} x+2y=1000,\\ 4x+3y=2000,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} x=200,\\ y=400.\end{array}\right. $
答：竖式纸盒做 200 个，横式纸盒做 400 个，恰好将库存的纸板用完.

3 [2024 湖南怀化质检,中]为响应国家节能减排的号召,鼓励居民节约用电,各省市先后出台了“阶梯价格”制度,下表中是某市的电价标准.

(1)已知小明家 5 月份用电 252 千瓦时,缴纳电费 158.4 元,6 月份用电 340 千瓦时,缴纳电费 220 元,请你根据以上数据,求出表格中 $ a $,$ b $ 的值.
(2)小明家 7 月份缴纳电费 285.5 元,求小明家 7 月份的用电量.

答案： 【解】
(1)依题意得$\left\{\begin{array}{l} 180a+(252-180)b=158.4,\\ 180a+(340-180)b=220,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} a=0.6,\\ b=0.7.\end{array}\right. $
答：a 的值为 0.6，b 的值为 0.7.
(2)若一个月用电量为 350 千瓦时，则电费
为$180×0.6+(350-180)×0.7=227$(元).
因为$285.5＞227,$
所以小明家 7 月份用电量超过 350 千瓦时.
设小明家 7 月份用电量为 x 千瓦时.
依题意得$180×0.6+(350-180)×0.7+(x-$
$350)×0.9=285.5$，解得$x=415.$
答：小明家 7 月份的用电量为 415 千瓦时.

4 [中]某物流公司计划用两种车型运输物资,用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满物资一次可运 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满物资一次可运 11 吨. 某物流公司现有 31 吨物资,计划同时租用 A 型车 $ a $ 辆,B 型车 $ b $ 辆,一次运完,且恰好每辆车都装满.
(1)1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案,并把符合要求的租车方案都列出来.
(3)若 A 型车每辆需租金每次 100 元,B 型车每辆需租金每次 120 元,请从(2)中的方案里选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.

答案： 【解】
(1)设 1 辆 A 型车装满物资一次可运 x
吨，1 辆 B 型车装满物资一次可运 y 吨.
依题意，得$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=10,\\ x+2y=11,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=4.\end{array}\right. $
答：1 辆 A 型车装满物资一次可运 3 吨，1 辆 B
型车装满物资一次可运 4 吨.
(2)依题意，得$3a+4b=31$，所以$a=\frac {31-4b}{3}.$
又因为 a，b 均为正整数，所以$\left\{\begin{array}{l} a=9,\\ b=1\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=4\end{array}\right. $
或$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=7,\end{array}\right. $
所以该物流公司共有 3 种租车方案，
即方案 1：租用 9 辆 A 型车，1 辆 B 型车；
方案 2：租用 5 辆 A 型车，4 辆 B 型车；
方案 3：租用 1 辆 A 型车，7 辆 B 型车.
(3)方案 1 所需租金为$100×9+120×1=1020$(元)；
方案 2 所需租金为$100×5+120×4=980$(元)；
方案 3 所需租金为$100×1+120×7=940$(元).
因为$1020＞980＞940$，所以最省钱的租车方案
为租用 1 辆 A 型车，7 辆 B 型车，最少租车费
为 940 元.
关键点拨 三元一次方程组的定义：含有三个未知数，并且每个方程中含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解答本题的关键.
刷有所得 数字的表示方法：每个数位上的数字乘位数再相加. 若设个位、十位、百位上的数字分别为 x，y，z，则这个三位数可表示为$100z+10y+x.$
思路分析
(3)根据总租金=A 型车的租车费用+B 型车的租车费用，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论.