《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2025 湖南株洲质检,中]练习册上有一道解方程的题：$\frac{1 + □ x}{3} + 1 = x$,$□$ 处在印刷时被油墨盖住了,查后面的答案知这个方程的解是 $x = -2$,那么 $□$ 处应该是(B)
A.$7$
B.$5$
C.$2$
D.$-2$

答案： B 【解析】把x=-2代入$\frac{1+□x}{3}+1=x$中,得$\frac{1-2□}{3}+1=-2,$所以□=5.

2 [2025 重庆丰都期末,中]定义符号“$\triangle$”表示的运算法则为 $a\triangle b = ab + 3a$,若 $[(3\triangle x)]\triangle 1 = -24$,则 $x = $-5。

答案： -5 【解析】因为a△b=ab+3a,[(3△x)]△1=-24,所以(3x+3×3)×1+3×(3x+3×3)=-24,去括号、移项、合并同类项,得12x=-60,系数化为1,得x=-5. 故答案为-5.

3 [较难]若关于 $x$ 的方程 $\frac{2kx + m}{3} = 2 + \frac{x - nk}{6}$,无论 $k$ 为何数,它的解总是 $x = 1$,那么 $m + n = $$\frac{5}{2}$。

答案： $\frac{5}{2} 【$解析】将x=1代入$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6},$得$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6},$所以(4+n)k=13-2m. 由题意可知,无论k为何数,(4+n)k=13-2m恒成立,所以n+4=0,13-2m=0,所以$n=-4,m=\frac{13}{2},$所以$m+n=\frac{5}{2}.$

4 [2025 四川成都期末,中]已知 $m$ 满足的条件为代数式 $2m - \frac{5m - 1}{3}$ 的值与代数式 $\frac{7 - m}{2}$ 的值的和等于 $5$,$n = \frac{a}{\vert a\vert} + \frac{\vert b\vert}{b}$,试求 $mn$ 的值。

答案： 【解】依题意有$2m-\frac{5m-1}{3}+\frac{7-m}{2}=5,$去分母,得12m-2(5m-1)+3(7-m)=30,去括号,得12m-10m+2+21-3m=30,移项,得12m-10m-3m=30-2-21,合并同类项,得-m=7,系数化为1,得m=-7.a,b同号时,n=1+1=2或n=-1+(-1)=-2;a,b异号时,n=0. 当m=-7,n=2时,mn=(-7)×2=-14;当m=-7,n=-2时,mn=(-7)×(-2)=14;当m=-7,n=0时,mn=(-7)×0=0.综上所述,mn的值为-14或14或0.

5 含 1 个绝对值 [2025 上海青浦区期中,中]解方程：(1)$\vert x - 3\vert - 3 = 2$；
(2)$\vert 2x\vert = x + 1(x \geq -1)$。

答案： 【解】
(1)|x-3|-3=2,所以|x-3|=5,所以x-3=5或x-3=-5,解得x=8或x=-2.
(2)|2x|=x+1,所以2x=x+1或2x=-x-1,解得x=1或$x=-\frac{1}{3}.$

6 含 2 个绝对值 [2025 北京西城区期末,中]解方程：(1)$\vert x + 6\vert - \vert 3x - 9\vert = 1$；
(2)$2\vert x + 1\vert + 3\vert x - 4\vert = 60$。

答案： 【解】
(1)当x≤-6时,去绝对值,得-x-6+3x-9=1,解得x=8(舍去);当-6＜x＜3时,去绝对值,得x+6+3x-9=1,解得x=1,符合题意;当x≥3时,去绝对值,得x+6-(3x-9)=1,解得x=7,符合题意,所以x=1或x=7.
(2)当x≤-1时,去绝对值,得2(-x-1)+3(4-x)=60,解得x=-10,符合题意;当-1＜x＜4时,去绝对值,得2(x+1)+3(4-x)=60,解得x=-46(舍去);当x≥4时,去绝对值,得2(x+1)+3(x-4)=60,解得x=14,符合题意,所以x=-10或x=14.

7 思想方法 类比思想 [较难]小东同学在将方程化成 $x = a$ 的形式时,发现这样一种特殊现象：
$x + \frac{1}{2} = 0$ 的解为 $x = -\frac{1}{2}$,而 $-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1$；
$2x + \frac{4}{3} = 0$ 的解为 $x = -\frac{2}{3}$,而 $-\frac{2}{3} = \frac{4}{3} - 2$。
于是,小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于 $x$ 的方程 $ax + b = 0(a \neq 0)$ 的解为 $x = b - a$,则称之为“奇异方程”。请和小东一起进行以下探究：
(1)若 $a = -1$,有符合要求的“奇异方程”吗？若有,求出该方程的解；若没有,请说明理由。
(2)若关于 $x$ 的方程 $ax + b = 0(a \neq 0)$ 为“奇异方程”,将关于 $y$ 的方程：$a(a - b)y + 2 = \left(b + \frac{1}{2}\right)y$ 化成 $y = m$ 的形式。

答案： 【解】
(1)没有符合要求的"奇异方程".理由如下:把a=-1代入ax+b=0可得x=b,若为"奇异方程",则x=b+1.因为b≠b+1,所以没有符合要求的"奇异方程".
(2)因为ax+b=0(a≠0)为"奇异方程",所以x=b-a,所以a(b-a)=-b,即a(a-b)=b,所以方程$a(a-b)y+2=(b+\frac{1}{2})y$可化为$by+2=(b+\frac{1}{2})y,$所以$by+2=by+\frac{1}{2}y,$整理得y=4.